1. (1.5) Dentre os pontos do elipsóide x^{2}+y^{2}-x y+z^{2}=20, seja P=(a, b, c) aquele cuja soma das coordenadas e máxima. Então vale:
    а) a+b+c=10.
    b) a+b+c=9
    c) a+b+c=14
    d) a+b+c=15
    e) a+b+c=16

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto P=(a,b,c) sobre o elipsóide definido por
x^{2}+y^{2}-xy+z^{2}=20
de modo que a soma das coordenadas a+b+c seja máxima.
Conteúdo: otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função objetivo e a restrição:
f(x,y,z)=x+y+z, \quad g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-xy+z^{2}-20=0.
Montamos o Lagrangeano
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x+y+z-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-xy+z^{2}-20\bigr).

Passo 3

Calculamos as equações de condição de estação
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=1-\lambda(2x-y)=0\quad\Rightarrow\quad1=\lambda(2x-y),
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=1-\lambda(2y-x)=0\quad\Rightarrow\quad1=\lambda(2y-x),
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=1-\lambda(2z)=0\quad\Rightarrow\quad z=\frac{1}{2\lambda}.

Passo 4

Das duas primeiras igualdades vem
2x-y=2y-x \quad\Rightarrow\quad 3x=3y \quad\Rightarrow\quad x=y.
Substituindo em 1=\lambda(2x-y) x=1/\lambda. Então y=1/\lambda e z=1/(2\lambda).

Passo 5

Aplicando a restrição
x^{2}+y^{2}-xy+z^{2} = x^{2}+x^{2}-x^{2}+\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2} = x^{2}+\frac{x^{2}}{4} = \frac{5}{4}x^{2} =20
logo \displaystyle x^{2}=16. Para maximizar a+b+c=2x+\tfrac{x}{2}=\tfrac{5}{2}x escolhemos x=4. Então
a+b+c=\frac{5}{2}\cdot4=10.

Resposta

(a) a+b+c=10.

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