- Seja
:
a) (1.5) Sendo
o sólido limitado pelos planos
e
escreva uma expressão para a integral tripla.
b) (0.5) Calcule a integral do item (a).
a) (1.5) Sendo
b) (0.5) Calcule a integral do item (a).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
no sólido limitado pelos planos
,
,
e pela face inclinada
.
Esse sólido é um tetraedro no primeiro octante, e vamos usar integração iterada (Fubini) para resolver.
no sólido
Esse sólido é um tetraedro no primeiro octante, e vamos usar integração iterada (Fubini) para resolver.
Passo 2
Primeiro definimos os limites de integração. Para cada
entre
e
,
varia de
a
, e para cada par
o
varia de
a
.
A integral fica então
A integral fica então
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Logo a integral reduz-se a
Passo 4
Fatoramos
e calculamos em
:
Fazendo
temos
Então sobra
Passo 5
Para terminar, calculamos
Usando substituição
ou expandindo, obtém-se
Multiplicando pelo fator
vem