1. Seja \iiint_{S} x^{2} y z d V :
    a) (1.5) Sendo S o sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z-2=0 escreva uma expressão para a integral tripla.
    b) (0.5) Calcule a integral do item (a).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{S} x^{2}yz\,dV
no sólido S limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e pela face inclinada x+y+z=2.
Esse sólido é um tetraedro no primeiro octante, e vamos usar integração iterada (Fubini) para resolver.

Passo 2

Primeiro definimos os limites de integração. Para cada x entre 0 e 2, y varia de 0 a 2-x, e para cada par (x,y) o z varia de 0 a 2-x-y.
A integral fica então
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x}\int_{z=0}^{2-x-y} x^{2}y\,z \,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{2-x-y} x^{2}y\,z\,dz = x^{2}y\;\biggl[\frac{z^{2}}{2}\biggr]_{0}^{2-x-y} = x^{2}y\;\frac{(2-x-y)^{2}}{2}.
Logo a integral reduz-se a
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x} x^{2}y\,\frac{(2-x-y)^{2}}{2}\,dy\,dx.

Passo 4

Fatoramos x^{2}/2 e calculamos em y:
\frac{x^{2}}{2}\int_{0}^{2-x} y\,(2-x-y)^{2}\,dy.
Fazendo a=2-x temos
\int_{0}^{a} y\,(a-y)^{2}\,dy =\frac{a^{4}}{12} =\frac{(2-x)^{4}}{12}.
Então sobra
\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{2}\;\frac{(2-x)^{4}}{12}\,dx =\int_{0}^{2}\frac{x^{2}(2-x)^{4}}{24}\,dx.

Passo 5

Para terminar, calculamos
\int_{0}^{2}x^{2}(2-x)^{4}\,dx.
Usando substituição u=2-x ou expandindo, obtém-se
\int_{0}^{2}x^{2}(2-x)^{4}\,dx =\frac{128}{105}.
Multiplicando pelo fator 1/24 vem
\frac{1}{24}\,\frac{128}{105} =\frac{128}{2520} =\frac{16}{315}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{315}

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