1. (2.0) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y)=x^{5}+y^{5}-5 x-5 y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais e pontos de sela da função
f(x,y)=x^{5}+y^{5}-5x-5y.
O conteúdo aqui é cálculo de extremos em funções de duas variáveis, que envolve (1) encontrar os pontos críticos via gradiente e (2) usar o Hessiano para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f pelo vetor das derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=5x^{4}-5, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=5y^{4}-5.
Logo,
\nabla f(x,y)=\bigl(5x^{4}-5,\;5y^{4}-5\bigr).

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem \nabla f(x,y)=(0,0), ou seja
5x^{4}-5=0, \quad 5y^{4}-5=0.
Cada equação leva a
x^{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1, \quad y^{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm1.
Portanto, os pontos críticos são (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1).

Passo 4

Para classificar, montamos o Hessiano de f, que é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y) = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y}\\[1em] \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x} & \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20x^{3} & 0\\\\ 0 & 20y^{3} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora avaliamos H e f em cada ponto crítico:
No ponto (1,1) temos H(1,1)=\mathrm{diag}(20,20), que é definida positiva. Logo há um mínimo local.
O valor é
f(1,1)=1^{5}+1^{5}-5\cdot1-5\cdot1=-8.
No ponto (-1,-1) temos H(-1,-1)=\mathrm{diag}(-20,-20), definida negativa, indicando máximo local.
O valor é
f(-1,-1)=(-1)^{5}+(-1)^{5}-5(-1)-5(-1)=8.
No ponto (1,-1) temos H(1,-1)=\mathrm{diag}(20,-20), com um autovalor positivo e outro negativo, ou seja ponto de sela.
O valor é
f(1,-1)=1-1-5+5=0.
No ponto (-1,1) temos H(-1,1)=\mathrm{diag}(-20,20), também estrutura de sela.
O valor é
f(-1,1)=-1+1+5-5=0.

Resposta

Mínimo local em (1,1) com f(1,1)=-8.
Máximo local em (-1,-1) com f(-1,-1)=8.
Pontos de sela em (1,-1) e (-1,1), ambos com valor f=0.

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