Dentre os pontos do plano de equação (x-6)+4(y-1)+2(z-5)=0 achar o que está mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o ponto no plano dado pela equação (x-6) + 4(y-1) + 2(z-5) = 0 que está mais perto da origem (o ponto (0,0,0)). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre pontos e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do plano para a forma padrão. Vamos expandir os parênteses:
(x - 6) + 4(y - 1) + 2(z - 5) = 0
Isso fica:
x - 6 + 4y - 4 + 2z - 10 = 0
Simplificando:
x + 4y + 2z - 20 = 0
Então, a equação do plano na forma padrão é x + 4y + 2z = 20.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o ponto no plano mais próximo da origem. Para isso, vamos usar a fórmula da projeção de um ponto sobre um plano. A distância mínima do ponto (0,0,0) ao plano ax + by + cz + d = 0 é dada por:
Distância = |a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 â
No nosso caso, a = 1, b = 4, c = 2, e d = -20.

Passo 4

Vamos calcular a distância:
Distância = |1 cdot 0 + 4 cdot 0 + 2 cdot 0 - 20|raiz1^2 + 4^2 + 2^2 = 20raiz21 â
Isso nos dá a distância mínima, mas precisamos do ponto específico no plano que está a essa distância da origem.

Passo 5

Para encontrar o ponto P(x, y, z) no plano mais próximo da origem, usamos a seguinte fórmula:
P = ( -d cdot aa^2 + b^2 + c^2, -d cdot ba^2 + b^2 + c^2, -d cdot ca^2 + b^2 + c^2 )
Substituindo os valores:
P = ( -(-20) cdot 11 + 16 + 4, -(-20) cdot 41 + 16 + 4, -(-20) cdot 21 + 16 + 4 ) = ( 2021, 8021, 4021 )

Resposta

O ponto no plano mais próximo da origem é ( dfrac2021, dfrac8021, dfrac4021 ).

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