Dentre os pontos do plano de equação
achar o que está mais próximo da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o ponto no plano dado pela equação
que está mais perto da origem (o ponto
). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre pontos e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do plano para a forma padrão. Vamos expandir os parênteses:
Isso fica:
Simplificando:
Então, a equação do plano na forma padrão é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o ponto no plano mais próximo da origem. Para isso, vamos usar a fórmula da projeção de um ponto sobre um plano. A distância mínima do ponto
ao plano
é dada por:
No nosso caso,
,
,
, e
.
Passo 4
Vamos calcular a distância:
Isso nos dá a distância mínima, mas precisamos do ponto específico no plano que está a essa distância da origem.
Passo 5
Para encontrar o ponto
no plano mais próximo da origem, usamos a seguinte fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O ponto no plano mais próximo da origem é
.