Dentre os retângulos inscritos no círculo de equação x^{2}+y^{2}=4, encontre as medidas do que tem maior área.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o retângulo de maior área inscrito no círculo x^{2}+y^{2}=4. O conteúdo matemático envolve otimização de uma função sob restrição geométrica.

Passo 2

Para modelar o problema, considere um retângulo centrado na origem com vértices (\pm x,\pm y), onde x>0 e y>0. A área desse retângulo é
A = 4\,x\,y
e os pontos satisfazem a restrição do círculo:
x^{2}+y^{2}=4.

Passo 3

Usamos a desigualdade AM–GM para limitar xy. Sabendo que
\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\ge xy,
substituímos x^{2}+y^{2}=4 e obtemos
\frac{4}{2}\ge xy \quad\Longrightarrow\quad xy\le 2.
Logo
A = 4\,xy \le 4\cdot 2 = 8.
A igualdade ocorre precisamente quando x=y.

Passo 4

Impondo x=y na restrição do círculo, temos
2x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{2},
e portanto y=\sqrt{2}.

Resposta

As medidas dos lados do retângulo de área máxima são
2x = 2\sqrt{2} \quad\text{e}\quad 2y = 2\sqrt{2},
ou seja, é um quadrado de lado 2\sqrt{2}.

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