Encontre o ponto da reta y=3 x+1 que está mais próximo de (0,0).

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta \,y = 3x + 1\, que fica mais próximo da origem (0,0). Para isso, em vez de minimizar a distância d, vamos minimizar o quadrado da distância D(x)=d^2, pois isso simplifica os cálculos (não aparece raiz).

Passo 2

Num ponto genérico (x,y) da reta vale y=3x+1. A distância ao quadrado até a origem é
D(x) = x^2 + (3x+1)^2 = x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = 10x^2 + 6x + 1.

Passo 3

Para encontrar o mínimo, derivamos D(x) em relação a x e igualamos a zero:
\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}x} = 20x + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{6}{20} = -\frac{3}{10}.

Passo 4

Com x = -\tfrac{3}{10}, calculamos y na reta:
y = 3\Bigl(-\tfrac{3}{10}\Bigr) + 1 = -\tfrac{9}{10} + \tfrac{10}{10} = \tfrac{1}{10}.

Resposta

O ponto da reta que está mais próximo de (0,0) é \bigl(-\tfrac{3}{10},\,\tfrac{1}{10}\bigr).

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