Esboce os gráficos das funções abaixo(domínio, intersecção com os eixos, assíntotas horizontais e verticais, crescimento e decrescimento, imagem)
f(x)=\frac{x}{x-9}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\frac{x}{x-9}
Analisaremos domínio, interseções com os eixos, assíntotas horizontais e verticais, monotonicidade e imagem (alcance de valores de f).

Passo 2

Determinar o domínio. A função é indefinida quando o denominador é zero, ou seja, quando
x-9=0\;\Longrightarrow\;x=9.
Logo, o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 9\}.

Passo 3

Encontrar as assíntotas.
Vertical: ocorre em x=9.
Horizontal: dividindo polinômios,
\frac{x}{x-9}=\frac{x-9+9}{x-9}=1+\frac{9}{x-9},
logo, ao \,x\to\pm\infty, \frac{9}{x-9}\to0 e a assíntota horizontal é
y=1.

Passo 4

Calcular interseções com os eixos.
Interseção com o eixo x (y =0): basta resolver x/(x-9)=0, o que dá x=0.
Interseção com o eixo y (x =0):
f(0)=\frac{0}{0-9}=0.
Portanto há um único ponto de interseção: (0,0).

Passo 5

Analisar monotonicidade.
Derivada de
\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-9} é
f'(x) =\frac{(x-9)\cdot1 - x\cdot1}{(x-9)^{2}} =\frac{-9}{(x-9)^{2}}.
Como (x-9)^{2}>0 para todo x\neq9, temos f'(x)<0 em cada ramo. Logo f é estritamente decrescente em (-\infty,9) e em (9,\infty).

Passo 6

Analisar comportamento nas assíntotas.
Para x\to9^{-}, o denominador é negativo e pequeno, o numerador tende a 9, então
f(x)\to-\infty.
Para x\to9^{+}, o denominador é positivo e pequeno, logo
f(x)\to+\infty.

Passo 7

Determinar a imagem (conjunto de valores de f).
Em (-\infty,9), conforme x\to-\infty,
f(x)=1+\frac{9}{x-9}\to1^{-},
e conforme x\to9^{-}, f(x)\to-\infty. Sendo decrescente, o valor de f percorre (-\infty,1).
Em (9,\infty), conforme x\to9^{+}, f(x)\to+\infty, e conforme x\to+\infty, f(x)\to1^{+}. Sendo decrescente, o valor percorre (1,+\infty).
Assim, a imagem é
(-\infty,1)\,\cup\,(1,\infty)
ou equivalentemente \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq9\}
Interseção com os eixos: (0,0)
Assíntota vertical: x=9
Assíntota horizontal: y=1
Monotonicidade: estritamente decrescente em (-\infty,9) e em (9,\infty)
Imagem: \displaystyle(-\infty,1)\cup(1,\infty)

Exercícios relacionados