Esboce os gráficos das funções abaixo(domínio, intersecção com os eixos, assíntotas horizontais e verticais, crescimento e decrescimento, imagem)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
Analisaremos domínio, interseções com os eixos, assíntotas horizontais e verticais, monotonicidade e imagem (alcance de valores de
).
Passo 2
Determinar o domínio. A função é indefinida quando o denominador é zero, ou seja, quando
Logo, o domínio é
Passo 3
Encontrar as assíntotas.
Vertical: ocorre em .
Horizontal: dividindo polinômios,
Vertical: ocorre em
Horizontal: dividindo polinômios,
logo, ao
,
e a assíntota horizontal é
Passo 4
Calcular interseções com os eixos.
Interseção com o eixo (y
): basta resolver
, o que dá
.
Interseção com o eixo (x
):
Interseção com o eixo
Interseção com o eixo
Portanto há um único ponto de interseção:
.
Passo 5
Analisar monotonicidade.
Derivada de
é
Derivada de
Como
para todo
, temos
em cada ramo. Logo
é estritamente decrescente em
e em
.
Passo 6
Analisar comportamento nas assíntotas.
Para , o denominador é negativo e pequeno, o numerador tende a
, então
Para
Para
, o denominador é positivo e pequeno, logo
Passo 7
Determinar a imagem (conjunto de valores de
).
Em , conforme
,
Em
e conforme
,
. Sendo decrescente, o valor de
percorre
.
Em , conforme
,
, e conforme
,
. Sendo decrescente, o valor percorre
.
Assim, a imagem é
Em
Assim, a imagem é
ou equivalentemente
.
Resposta
Domínio:
Interseção com os eixos:
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Monotonicidade: estritamente decrescente em e em
Imagem:
Interseção com os eixos:
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Monotonicidade: estritamente decrescente em
Imagem: