1. \int \frac{4 x+2}{2 x-1} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4x+2}{2x-1}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional. Vamos usar divisão de polinômios para simplificar o integrando e, depois, u-substituição para a parte que restar.

Passo 2

Fazemos a divisão de 4x+2 por 2x-1. Procuramos constantes A e B tais que
4x+2 = A\,(2x-1) + B.
Comparando coeficientes, temos
4x+2 = 2A\,x - A + B \quad\Longrightarrow\quad 2A = 4,\quad -A + B = 2.
Daí A=2 e B = 2 + A = 4.

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa divisão:
\frac{4x+2}{2x-1} = 2 + \frac{4}{2x-1},
logo
\int \frac{4x+2}{2x-1}\,dx = \int 2\,dx + \int \frac{4}{2x-1}\,dx.

Passo 4

A primeira parte é direta:
\int 2\,dx = 2x.
Na segunda parte, tomamos u = 2x-1, logo du = 2\,dx ou dx = \tfrac{1}{2}du. Assim,
\int \frac{4}{2x-1}\,dx = 4 \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = 2 \int \frac{1}{u}\,du = 2\ln\bigl|u\bigr| + C_1 = 2\ln\bigl|2x-1\bigr| + C_1.

Passo 5

Somando as duas partes e agrupando a constante de integração em C, obtemos
2x + 2\ln\bigl|2x-1\bigr| + C.

Resposta

2x + 2\ln\bigl|2x-1\bigr| + C.

Exercícios relacionados