Esboce os gráficos das funções abaixo(domínio, intersecção com os eixos, assíntotas horizontais e verticais, crescimento e decrescimento, imagem)
f(x)=\frac{-x+1}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=\frac{-x+1}{x-3},
determinando domínio, interseções com os eixos, assíntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento/decrescimento e imagem. Vamos usar as técnicas de análise de função racional: excluir raízes do denominador, zerar o numerador, comparar graus para assíntotas horizontais, derivada para monotonia e resolução de y=f(x) para a imagem.

Passo 2

Domínio: devemos ter x-3\neq0, logo
\Dom(f)=(-\infty,3)\cup(3,\infty).

Passo 3

Interseção com o eixo x: resolver f(x)=0 implica -x+1=0, isto é x=1. Então o ponto é (1,0).
Interseção com o eixo y: tomar x=0
f(0)=\frac{-0+1}{0-3}=-\frac{1}{3},
logo o ponto é \bigl(0,-\tfrac13\bigr).

Passo 4

Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador some, isto é x=3.
Assíntota horizontal: comparar os coeficientes principais de -x e x; como ambos têm grau 1,
y=\frac{-1}{1}=-1
é a assíntota horizontal.

Passo 5

Monotonicidade: calculamos a derivada por quociente,
f'(x) =\frac{-(1)\,(x-3)-(-x+1)\,1}{(x-3)^2} =\frac{-x+3+x-1}{(x-3)^2} =\frac{2}{(x-3)^2}.
Como (x-3)^2>0 para todo x\neq3, temos f'(x)>0 em cada ramo. Portanto f é estritamente crescente em (-\infty,3) e em (3,\infty).

Passo 6

Imagem (range): para determinar quais y são atingidos, escrevemos
y=\frac{-x+1}{x-3} \;\Longrightarrow\; y(x-3)=-x+1 \;\Longrightarrow\; x(y+1)=3y+1.
Se y\neq -1, então x=\frac{3y+1}{y+1} existe em \mathbb{R}. Para y=-1 não há solução. Logo
\Im(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,\infty).

Passo 7

Comportamento dos ramos e esboço qualitativo:
  • Em x\to3^-, f(x)\to+\infty. Em x\to-\infty, f(x)\to-1^+.
  • Em x\to3^+, f(x)\to-\infty. Em x\to+\infty, f(x)\to-1^-.
    Passa por (1,0) e \bigl(0,-\tfrac13\bigr), é crescente em cada ramo, e as retas x=3 e y=-1 devem ser desenhadas tracejadas como assíntotas.

Resposta

Domínio: (-\infty,3)\cup(3,\infty)
Interseções: (1,0) e \bigl(0,-\tfrac13\bigr)
Assíntotas: vertical x=3, horizontal y=-1
Crescimento: crescente em (-\infty,3) e em (3,\infty)
Imagem: (-\infty,-1)\cup(-1,\infty)
Esboço: dois ramos de hipérbole, um acima da reta y=-1 para x<3 e outro abaixo de y=-1 para x>3, passando pelos pontos indicados.

Exercícios relacionados