Esboce os gráficos das funções abaixo(domínio, intersecção com os eixos, assíntotas horizontais e verticais, crescimento e decrescimento, imagem)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
determinando domínio, interseções com os eixos, assíntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento/decrescimento e imagem. Vamos usar as técnicas de análise de função racional: excluir raízes do denominador, zerar o numerador, comparar graus para assíntotas horizontais, derivada para monotonia e resolução de
para a imagem.
Passo 2
Domínio: devemos ter
, logo
Passo 3
Interseção com o eixo
: resolver
implica
, isto é
. Então o ponto é
.
Interseção com o eixo : tomar
dá
Interseção com o eixo
logo o ponto é
.
Passo 4
Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador some, isto é
.
Assíntota horizontal: comparar os coeficientes principais de e
; como ambos têm grau
,
Assíntota horizontal: comparar os coeficientes principais de
é a assíntota horizontal.
Passo 5
Monotonicidade: calculamos a derivada por quociente,
Como
para todo
, temos
em cada ramo. Portanto
é estritamente crescente em
e em
.
Passo 6
Imagem (range): para determinar quais
são atingidos, escrevemos
Se
, então
existe em
. Para
não há solução. Logo
Passo 7
Comportamento dos ramos e esboço qualitativo:
- Em
, . Em , . - Em
, . Em , .
Passa pore , é crescente em cada ramo, e as retas e devem ser desenhadas tracejadas como assíntotas.
Resposta
Domínio:
Interseções: e
Assíntotas: vertical , horizontal
Crescimento: crescente em e em
Imagem:
Esboço: dois ramos de hipérbole, um acima da reta para
e outro abaixo de
para
, passando pelos pontos indicados.
Interseções:
Assíntotas: vertical
Crescimento: crescente em
Imagem:
Esboço: dois ramos de hipérbole, um acima da reta