Problema: Calcular a derivada da função f(x, y, z)=x y+y z+x z no ponto P(1,-2,1), na direção do vetor \vec{v}=(4,-4,2).

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada direcional da função
f(x,y,z)=xy+yz+xz
no ponto P(1,-2,1) na direção do vetor \vec v=(4,-4,2). Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional, que é dado por
D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u,
onde \mathbf u é o vetor unitário na direção de \vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Pela definição:
\frac{\partial f}{\partial x}=y+z,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+z,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=x+y.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=(\,y+z,\;x+z,\;x+y\,).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P(1,-2,1). Substituindo x=1, y=-2, z=1:
y+z=-2+1=-1,\quad x+z=1+1=2,\quad x+y=1-2=-1.
Logo
\nabla f(1,-2,1)=(-1,\,2,\,-1).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário \mathbf u na direção de \vec v. Primeiro calculamos o módulo de \vec v:
\|\vec v\|=\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{16+16+4}=6.
Assim
\mathbf u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\tfrac{4}{6},\,-\tfrac{4}{6},\,\tfrac{2}{6}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar de \nabla f(P) por \mathbf u:
D_{\mathbf u}f(P)=(-1)\cdot\tfrac{2}{3}+2\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)+(-1)\cdot\tfrac{1}{3} =-\tfrac{2}{3}-\tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{7}{3}.

Resposta

-\tfrac{7}{3}

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