Dentre os seguintes conjuntos, quais geram o R^3 ? Quais são LI ou LD? Quais são base do R^3 Justifique sua resposta:
alpha=(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1)
R : alpha e beta geram; alpha é base; LI

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um conjunto de vetores e descobrir três coisas: se eles geram todo o espaço R^3, se são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD), e se formam uma base de R^3. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geração de espaços, independência linear e bases. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto alpha = (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1) gera R^3. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Para verificar isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e verificamos se a matriz tem posto 3 (ou seja, se as colunas são lineares e independente).

Passo 3

A matriz formada pelos vetores de alpha é:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, as colunas são linearmente independentes e geram R^3.

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 cdot 1 - 0 + 1 cdot (-1) = 1 - 0 - 1 = 0
Como o determinante é zero, isso significa que as colunas da matriz são linearmente dependentes e, portanto, o conjunto alpha não gera todo o espaço R^3.

Passo 5

Agora, vamos confirmar a independência linear. Já vimos que o determinante é zero, o que indica dependência linear. Mas para ficar claro, vamos ver se um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros. Observamos que:
(1,0,1) = (1,0,0) + (0,0,1)
No entanto, nosso conjunto não inclui (0,0,1), mas podemos tentar outras combinações:
(1,0,1) = 1 cdot (1,0,0) + 0 cdot (0,1,1)
Ah, na verdade, há uma dependência linear aqui, confirmando que são linearmente dependentes (LD).

Passo 6

Por último, para ser uma base de R^3, o conjunto precisa ser linearmente independente e gerar o espaço. Como já vimos que alpha não gera R^3 e é linearmente dependente, ele não é uma base.

Resposta

O conjunto alpha = (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1) não gera R^3, é linearmente dependente (LD) e não é uma base de R^3.

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