Dentre os seguintes conjuntos, quais geram o ? Quais são LI ou LD? Quais são base do Justifique sua resposta: : e geram; é base; LI
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um conjunto de vetores e descobrir três coisas: se eles geram todo o espaço , se são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD), e se formam uma base de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geração de espaços, independência linear e bases. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto gera. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Para verificar isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e verificamos se a matriz tem posto 3 (ou seja, se as colunas são lineares e independente).
Passo 3
A matriz formada pelos vetores de é:
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, as colunas são linearmente independentes e geram R^3.
Como o determinante é zero, isso significa que as colunas da matriz são linearmente dependentes e, portanto, o conjunto alphanão gera todo o espaço R^3.
Passo 5
Agora, vamos confirmar a independência linear. Já vimos que o determinante é zero, o que indica dependência linear. Mas para ficar claro, vamos ver se um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros. Observamos que:
(1,0,1) = (1,0,0) + (0,0,1)
No entanto, nosso conjunto não inclui (0,0,1), mas podemos tentar outras combinações:
(1,0,1) = 1 cdot (1,0,0) + 0 cdot (0,1,1)
Ah, na verdade, há uma dependência linear aqui, confirmando que são linearmente dependentes (LD).
Passo 6
Por último, para ser uma base de R^3, o conjunto precisa ser linearmente independente e gerar o espaço. Como já vimos que alphanão geraR^3 e é linearmente dependente, ele não é uma base.
Resposta
O conjunto alpha = (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1)não geraR^3, é linearmente dependente (LD) e não é uma base de R^3.