Verifique se os seguintes conjuntos geram o R^2, quais são L D ou L I e base do R^2. Justifique sua resposta:
(-2,1),(1,3),(2,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de três vetores no R^2: (-2,1), (1,3), (2,4). Nosso objetivo é descobrir se esses vetores conseguem “preencher” todo o espaço R^2, ou seja, se eles geram R^2. Também vamos verificar se esses vetores são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI) e se eles formam uma base para R^2. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre combinação linear, determinante e bases em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores gerar R^2, eles precisam ser capazes de combinar linearmente qualquer vetor nesse espaço. No caso, como temos mais vetores do que a dimensão do espaço (temos 3 vetores em R^2), é provável que eles sejam linearmente dependentes. Mas vamos verificar isso.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente dependentes ou independentes, vamos montar uma combinação linear que iguala a zero:
a(-2,1) + b(1,3) + c(2,4) = (0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
-2a + b + 2c = 0 a + 3b + 4c = 0
Vamos resolver esse sistema para ver se temos soluções não triviais (onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c não é zero).

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
-2a + b + 2c = 0 implies b = 2a - 2c
Substituindo b na segunda equação:
a + 3(2a - 2c) + 4c = 0 a + 6a - 6c + 4c = 0 7a - 2c = 0 implies 7a = 2c implies c = 72a
Escolhendo a = 2 (para simplificar), temos c = 7 e b = 2(2) - 2(7) = 4 - 14 = -10.
Então, uma solução não trivial é a = 2, b = -10, c = 7.

Passo 5

Como encontramos uma solução não trivial para a combinação linear igual a zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes (LD).

Passo 6

Agora, vamos ver se os vetores geram R^2. Mesmo sendo LD, isso não impede que eles gerem o espaço, desde que haja pelo menos dois vetores que sejam linearmente independentes.
Vamos pegar os dois primeiros vetores (-2,1) e (1,3) e calcular o determinante da matriz formada por eles:
Det = (-2)(3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7
Como o determinante é diferente de zero ( -7 neq 0), esses dois vetores são linearmente independentes e, portanto, geram R^2.

Passo 7

Para ser uma base de R^2, um conjunto de vetores precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço. Nesse caso, como temos 3 vetores LD mas qualquer par de vetores independentes dentro do conjunto já gera R^2, podemos dizer que os vetores não formam uma base (porque uma base para R^2 deve ter exatamente 2 vetores linearmente independentes).

Resposta

Então, resumindo:
  • Os vetores (-2,1), (1,3), (2,4) geram R^2.
  • Eles são linearmente dependentes (LD).
  • Não formam uma base para R^2.

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