Verifique se os seguintes conjuntos geram o
, quais são
ou
e base do
. Justifique sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de três vetores no
:
. Nosso objetivo é descobrir se esses vetores conseguem “preencher” todo o espaço
, ou seja, se eles geram
. Também vamos verificar se esses vetores são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI) e se eles formam uma base para
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre combinação linear, determinante e bases em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores gerar
, eles precisam ser capazes de combinar linearmente qualquer vetor nesse espaço. No caso, como temos mais vetores do que a dimensão do espaço (temos 3 vetores em
), é provável que eles sejam linearmente dependentes. Mas vamos verificar isso.
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente dependentes ou independentes, vamos montar uma combinação linear que iguala a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para ver se temos soluções não triviais (onde pelo menos um dos coeficientes
,
,
não é zero).
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Escolhendo
(para simplificar), temos
e
.
Então, uma solução não trivial é
,
,
.
Passo 5
Como encontramos uma solução não trivial para a combinação linear igual a zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes (LD).
Passo 6
Agora, vamos ver se os vetores geram
. Mesmo sendo LD, isso não impede que eles gerem o espaço, desde que haja pelo menos dois vetores que sejam linearmente independentes.
Vamos pegar os dois primeiros vetores
e
e calcular o determinante da matriz formada por eles:
Como o determinante é diferente de zero (
), esses dois vetores são linearmente independentes e, portanto, geram
.
Passo 7
Para ser uma base de
, um conjunto de vetores precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço. Nesse caso, como temos 3 vetores LD mas qualquer par de vetores independentes dentro do conjunto já gera
, podemos dizer que os vetores não formam uma base (porque uma base para
deve ter exatamente 2 vetores linearmente independentes).
Resposta
Então, resumindo:
- Os vetores
geram . - Eles são linearmente dependentes (LD).
- Não formam uma base para
.