Verifique quais das seguintes aplicações de R^3 em R^3 são transformações lineares:
T3(x, y, z)=(x, x, x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T3colon R^3to R^3, T3(x,y,z)=(x,x,x)
é linear. Para isso precisamos checar os dois axiomas de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em R^3. Então
T3l((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T3(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2) = (x1+x2,,x1+x2,,x1+x2)
e
T3(x1,y1,z1) + T3(x2,y2,z2) = (x1,x1,x1) + (x2,x2,x2) = (x1+x2,,x1+x2,,x1+x2)
Como os dois resultados coincidem, a aditividade vale.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e (x,y,z)inR^3. Então
T3l(alpha,(x,y,z)r) = T3(alpha x,alpha y,alpha z) = (alpha x,alpha x,alpha x) = alpha,(x,x,x) = alpha,T3(x,y,z)
Logo a homogeneidade também vale.

Resposta

T3 é uma transformação linear.

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