Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k) T: M(2,2) longrightarrow R^2, T([lla & b c & d])=(a-c, b+c)
Passo 1
O enunciado oferece várias transformações T e pede que verifiquemos quais são lineares. Estamos no contexto de transformações lineares entre espaços vetoriais e precisamos usar a definição de linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Uma aplicação T é linear se e somente se, para todos vetores u,v e escalar alpha valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(alpha u)=alpha T(u)
Isto equivale a cada componente de T ser combinação linear das coordenadas de entrada sem termos constantes nem operadores não lineares.
Passo 3
Em (a)
T(x,y)=(x-y,;3x,;-2y)
cada componente é combinação linear em x,y sem termo constante, logo T é linear.
Em (b)
T(x,y,z)=(x+y,;x-y,;0)
novamente só há combinações lineares (o valor 0 é a componente nula), então T é linear.
Passo 4
Em (c)
T(x,y)=(x^2+y^2,;x)
o termo x^2+y^2 é não linear, falhando homogeneidade;
em (h)
T(x,y)=xy
o produto não satisfaz aditividade nem homogeneidade.
Portanto ambas não são lineares.
Passo 5
Em (d)
T(x)=(x,2)
há termo constante 2, o que faz T(0)neq0;
em (f)
T(x,y)=(|x|,y)
|x| não preserva homogeneidade.
Então d e f não são lineares.
Passo 6
Nas restantes (e), (g), (i), (j) e (k) cada componente é combinação linear das entradas sem constantes ou operações não lineares:
(e)