Dentre as seguintes funções, verificar quais são transformações lineares. Justifique cada uma das respostas.
dada por
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função específica é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear, que é um conceito de álgebra linear. Para resolver isso, vamos checar se a função respeita duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos aplicar essas propriedades à função dada
.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
. Primeiro, calculamos
da soma desses vetores:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Comparando as duas expressões, vemos que são iguais:
Então, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Agora, vamos pegar um escalar
e um vetor
. Calculamos
de
vezes o vetor:
Simplificando:
Por outro lado, calculamos
vezes
:
Observamos que as duas expressões são iguais:
Portanto, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Verificando a imagem do vetor zero:
Só para ter certeza, vamos checar o que a transformação faz com o vetor zero
:
O que confirma que a transformação leva o vetor zero ao vetor zero, como esperado para uma transformação linear.
Resposta
A função
satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, além de enviar o vetor zero para o vetor zero. Portanto,
é uma transformação linear.