Dentre as seguintes funções, verificar quais são transformações lineares. Justifique cada uma das respostas.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função específica é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear, que é um conceito de álgebra linear. Para resolver isso, vamos checar se a função respeita duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T: R^n R^m é linear se, para quaisquer vetores u e v em R^n e para qualquer escalar c , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u)
Vamos aplicar essas propriedades à função dada T(x, y) = (2x + y, -2y, 3x) .

Passo 3

Verificando a aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer (x1, y1) e (x2, y2) . Primeiro, calculamos T da soma desses vetores:
T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2) + (y1 + y2), -2(y1 + y2), 3(x1 + x2))
Simplificando:
= (2x1 + 2x2 + y1 + y2, -2y1 - 2y2, 3x1 + 3x2)
Agora, vamos calcular T(x1, y1) + T(x2, y2) :
T(x1, y1) = (2x1 + y1, -2y1, 3x1)
T(x2, y2) = (2x2 + y2, -2y2, 3x2)
T(x1, y1) + T(x2, y2) = (2x1 + y1 + 2x2 + y2, -2y1 - 2y2, 3x1 + 3x2)
Comparando as duas expressões, vemos que são iguais:
T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1, y1) + T(x2, y2)
Então, a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Agora, vamos pegar um escalar c e um vetor (x, y) . Calculamos T de c vezes o vetor:
T(c(x, y)) = T(cx, cy) = (2(cx) + cy, -2(cy), 3(cx))
Simplificando:
= (c(2x) + c(y), -c(2y), c(3x)) = c(2x + y, -2y, 3x)
Por outro lado, calculamos c vezes T(x, y) :
cT(x, y) = c(2x + y, -2y, 3x) = (c(2x + y), c(-2y), c(3x)) = (c2x + cy, -c2y, c3x)
Observamos que as duas expressões são iguais:
T(c(x, y)) = cT(x, y)
Portanto, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Verificando a imagem do vetor zero:
Só para ter certeza, vamos checar o que a transformação faz com o vetor zero (0, 0) :
T(0, 0) = (2(0) + 0, -2(0), 3(0)) = (0, 0, 0)
O que confirma que a transformação leva o vetor zero ao vetor zero, como esperado para uma transformação linear.

Resposta

A função T(x, y) = (2x + y, -2y, 3x) satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, além de enviar o vetor zero para o vetor zero. Portanto, T é uma transformação linear.

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