Dentre as seguintes funções, verificar quais são transformações lineares. Justifique cada uma das respostas.
dada por
Passo 1
Beleza, vamos analisar a questão! Aí a gente tem uma função
que pega uma matriz
com números reais e a transforma em um vetor de
. A pergunta é saber se essa função é uma transformação linear. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, ela satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Ou seja, a função precisa preservar a soma de vetores e a multiplicação por escalares.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades à função
. Primeiro, consideremos duas matrizes gerais em
:
E um escalar
.
Passo 4
Verificando a Aditividade:
Vamos calcular
:
Aplicando
:
Agora, calculamos
:
Somando:
Observamos que:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 5
Verificando a Homogeneidade:
Vamos calcular
:
Aplicando
:
Agora, calculamos
:
Comparando os dois resultados:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.