Dentre as seguintes funções, verificar quais são transformações lineares. Justifique cada uma das respostas.
T: M2 imes 2(R) R^2 dada por T([lla & b c & d])=(a-c, b+c)

Passo 1

Beleza, vamos analisar a questão! Aí a gente tem uma função T que pega uma matriz 2 times 2 com números reais e a transforma em um vetor de R^2 . A pergunta é saber se essa função é uma transformação linear. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se T satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T é linear se, para quaisquer vetores u e v e para qualquer escalar k , ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(k cdot u) = k cdot T(u)
Ou seja, a função precisa preservar a soma de vetores e a multiplicação por escalares.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à função T . Primeiro, consideremos duas matrizes gerais em M2 times 2(R) :
A = a & b c & d , B = a' & b' c' & d'
E um escalar k in R .

Passo 4

Verificando a Aditividade:
Vamos calcular T(A + B) :
A + B = a + a' & b + b' c + c' & d + d'
Aplicando T :
T(A + B) = ((a + a') - (c + c'), (b + b') + (c + c')) = (a - c + a' - c', b + c + b' + c')
Agora, calculamos T(A) + T(B) :
T(A) = (a - c, b + c), T(B) = (a' - c', b' + c')
Somando:
T(A) + T(B) = (a - c + a' - c', b + c + b' + c')
Observamos que:
T(A + B) = T(A) + T(B)
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 5

Verificando a Homogeneidade:
Vamos calcular T(k cdot A) :
k cdot A = k a & k b k c & k d
Aplicando T :
T(k cdot A) = (k a - k c, k b + k c) = k (a - c, b + c)
Agora, calculamos k cdot T(A) :
k cdot T(A) = k cdot (a - c, b + c) = (k (a - c), k (b + c))
Comparando os dois resultados:
T(k cdot A) = k cdot T(A)
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a função T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que T é uma transformação linear.

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