(a) Mostre que se os produtos
e
estiverem ambos definidos, então
e
são matrizes quadradas.
(b) Mostre que se
for uma matriz
estiver definida, então
é uma matriz
.
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata de dimensões de matrizes em multiplicação. Sabemos que, para matrizes
de dimensão
e
de dimensão
, o produto
está definido exatamente quando
, e nesse caso
tem dimensão
. Vamos usar essa regra para mostrar (a) que, se tanto
quanto
existem, então eles são quadradas, e (b) que, se
é
e
existe, então
deve ser
.
Passo 2
Parte (a): suponha
é
e
é
.
– Como está definido, deve ocorrer
– Como
e então
tem dimensão
.
– Como está definido, deve ocorrer
– Como
e então
tem dimensão
.
Passo 3
Ainda na parte (a), com
e
:
– A dimensão de é
, logo
é quadrada.
– A dimensão de é
, logo
é quadrada.
– A dimensão de
– A dimensão de
Passo 4
Parte (b): seja
de dimensão
e
de dimensão
.
– Para existir, devemos ter
– Para
e então
é
.
– Para existir, o número de colunas de
(que é
) deve igualar o número de linhas de
(que é
), então
– Para
Passo 5
Com
e
, concluímos que
é de dimensão
Resposta
(a)
é
e
é
, ou seja, ambas são quadradas.
(b) deve ser uma matriz
.
(b)