(a) Mostre que se os produtos A B e B A estiverem ambos definidos, então A B e B A são matrizes quadradas.
(b) Mostre que se A for uma matriz m times n e A(B A) estiver definida, então B é uma matriz n times m.

Passo 1

O enunciado trata de dimensões de matrizes em multiplicação. Sabemos que, para matrizes M de dimensão utimes v e N de dimensão xtimes y, o produto MN está definido exatamente quando v=x, e nesse caso MN tem dimensão utimes y. Vamos usar essa regra para mostrar (a) que, se tanto AB quanto BA existem, então eles são quadradas, e (b) que, se A é mtimes n e A(BA) existe, então B deve ser ntimes m.

Passo 2

Parte (a): suponha A é ptimes q e B é rtimes s.
– Como AB está definido, deve ocorrer
q = r,
e então AB tem dimensão p times s.
– Como BA está definido, deve ocorrer
s = p,
e então BA tem dimensão r times q.

Passo 3

Ainda na parte (a), com q=r e s=p:
– A dimensão de AB é ptimes s = ptimes p, logo AB é quadrada.
– A dimensão de BA é rtimes q = qtimes q, logo BA é quadrada.

Passo 4

Parte (b): seja A de dimensão mtimes n e B de dimensão rtimes s.
– Para BA existir, devemos ter
s = m,
e então BA é rtimes n.
– Para A(BA) existir, o número de colunas de A (que é n) deve igualar o número de linhas de BA (que é r), então
n = r

Passo 5

Com r=n e s=m, concluímos que B é de dimensão
r times s = n times m

Resposta

(a) AB é ptimes p e BA é qtimes q, ou seja, ambas são quadradas.
(b) B deve ser uma matriz ntimes m.

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