Seja T o operador linear no R^3 tal que T(1,0,0)=(0,-1,0), T(0,1,0)=(0,0,4) e T(0,0,1)=(1,0,-3). Determine T(x, y, z) e o vetor v in R^3 tal que T(v)=(4,5,-1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear T no espaço tridimensional R^3 . Isso significa que T transforma vetores de R^3 em outros vetores de R^3 de forma linear. O enunciado nos dá como T atua nos vetores da base canônica: (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) . Nosso objetivo é:
  1. Determinar a expressão geral de T(x, y, z) .
  2. Encontrar um vetor v tal que T(v) = (4,5,-1) .
Para isso, vamos precisar saber como montar a matriz de T usando as imagens da base canônica, e como resolver sistemas lineares para achar v .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de T . Em álgebra linear, um operador linear pode ser representado por uma matriz, onde cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base canônica. Aqui, a base canônica de R^3 é formada por e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) .
Sabemos que:
  • T(e1) = T(1,0,0) = (0,-1,0)
  • T(e2) = T(0,1,0) = (0,0,4)
  • T(e3) = T(0,0,1) = (1,0,-3)
Então, podemos escrever a matriz de T como:
T = 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 0 & 4 & -3

Passo 3

Agora que temos a matriz de T , podemos encontrar T(x, y, z) multiplicando essa matriz pelo vetor (x, y, z) . Vamos fazer isso passo a passo:
T(x, y, z) = T cdot x y z = 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 0 & 4 & -3 cdot x y z
Multiplicando as matrizes, temos:
0 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z -1 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z 0 cdot x + 4 cdot y + (-3) cdot z = z - x 4y - 3z
Então, a expressão geral de T(x, y, z) é:
T(x, y, z) = (z, -x, 4y - 3z)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor v = (v1, v2, v3) tal que T(v) = (4,5,-1) . Usando a expressão que encontramos para T(x, y, z) , temos:
T(v1, v2, v3) = (v3, -v1, 4v2 - 3v3) = (4,5,-1)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
v3 = 4 - v1 = 5 4v2 - 3v3 = -1
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da primeira equação:
v3 = 4
Em seguida, da segunda equação:
- v1 = 5 Rightarrow v1 = -5
Agora, substituímos v3 = 4 na terceira equação:
4v2 - 3 cdot 4 = -1 4v2 - 12 = -1 4v2 = 11 v2 = 114

Resposta

Portanto, o vetor v que satisfaz T(v) = (4,5,-1) é:
v = (-5, 114, 4)

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