Seja o operador linear no tal que e . Determine e o vetor tal que .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear no espaço tridimensional . Isso significa que transforma vetores de em outros vetores de de forma linear. O enunciado nos dá como atua nos vetores da base canônica: , e . Nosso objetivo é:
Determinar a expressão geral de .
Encontrar um vetor tal que .
Para isso, vamos precisar saber como montar a matriz de usando as imagens da base canônica, e como resolver sistemas lineares para achar .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de . Em álgebra linear, um operador linear pode ser representado por uma matriz, onde cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base canônica. Aqui, a base canônica de é formada por , e .
Sabemos que:
Então, podemos escrever a matriz de como:
Passo 3
Agora que temos a matriz de T , podemos encontrar T(x, y, z) multiplicando essa matriz pelo vetor (x, y, z) . Vamos fazer isso passo a passo:
T(x, y, z) = T cdot x y z = 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 0 & 4 & -3 cdot x y z
Multiplicando as matrizes, temos:
0 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z -1 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z 0 cdot x + 4 cdot y + (-3) cdot z = z - x 4y - 3z
Então, a expressão geral de T(x, y, z) é:
T(x, y, z) = (z, -x, 4y - 3z)
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor v = (v1, v2, v3) tal que T(v) = (4,5,-1) . Usando a expressão que encontramos para T(x, y, z) , temos: