Exercício 19 Construir um triângulo conhecendo o perímetro e sabendo que seus lados são proporcionais a três números dados a, be c.

Passo 1

O enunciado pede para construir, com régua e compasso, um triângulo cujo perímetro é P e cujos lados são proporcionais a três números dados a, b e c. O conteúdo principal envolve usar o Teorema de Tales para dividir um segmento em partes proporcionais e, em seguida, montar o triângulo a partir de três comprimentos já determinados.

Passo 2

Escolha um ponto O e trace uma semirreta r. Com o compasso, marque sobre r três segmentos consecutivos OA, AB e BC tais que
OA = a, AB = b, BC = c
O ponto C então divide r em razões a:b:c.

Passo 3

Escolha um outro ponto O' e trace uma semirreta s. Sobre s, com régua e compasso, marque o ponto D de modo que
O'D = P,
isto é, o comprimento total do perímetro. Una C a D. Em seguida, pelas semirretas paralelas a CD que passam por A e por B, obtenha na semirreta s os pontos E e F, respectivamente. Pelo Teorema de Tales, ficam então
O'E = k,a, EF = k,b, FD = k,c,
onde
k = Pa + b + c

Passo 4

Agora temos três comprimentos conhecidos:
O'E = k,a, EF = k,b, FD = k,c
Para construir o triângulo, faça o seguinte:
  1. Desenhe um segmento DE de comprimento EF = k,b.
  2. Com centro em D e raio O'E = k,a, trace um arco.
  3. Com centro em E e raio FD = k,c, trace outro arco.
    O ponto de interseção desses dois arcos é o terceiro vértice G. Basta então ligar G a D e G a E para obter o triângulo procurado.

Resposta

O triângulo construído tem lados
P,aa+b+c, P,ba+b+c, P,ca+b+c

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