Dentre os seguintes operadores lineares, verificar quais são ortogonais:
a) T: I R^3 I R^3, T(x, y, z)=(z, x,-y)
b) T: I R^3 I R^3, T(x, y, z)=(x, y, z)
c) T: I R^3 I R^3, T(x, y, z)=(x, 0,0)

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos operadores lineares em R^3 são ortogonais. Lembrando que um operador T é ortogonal se e somente se, na base canônica, sua matriz A satisfaz
A^T A = I
ou, equivalentemente, suas colunas formam um sistema ortonormal em R^3.

Passo 2

Para o caso (a), temos
T(x,y,z) = (z,;x,;-y),
cuja matriz na base canônica é
A = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & -1& 0
As colunas de A são
c1 = 010, c2 = 00-1, c3 = 100
Calculamos
|c1| = |c2| = |c3| = 1,
e para ineq j,
cicdot cj = 0
Logo, as colunas são ortonormais e A^T A = I. Portanto, T é ortogonal.

Passo 3

No caso (b), T é a aplicação identidade
T(x,y,z) = (x,y,z),
cuja matriz é I3. Como
I3^T I3 = I3,
ela preserva produto interno e norma. Logo, T também é ortogonal.

Passo 4

Para o caso (c),
T(x,y,z) = (x,0,0),
a matriz é
P = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
As colunas de P são ,(1,0,0)^T, (0,0,0)^T e (0,0,0)^T. Como há vetores nulos e não se preserva norma (por exemplo, |(0,1,0)|=1 mas |P(0,1,0)|=0), temos P^T P neq I. Assim, T não é ortogonal.

Resposta

a) ortogonal
b) ortogonal
c) não ortogonal

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