Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B.
a) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(x+2 y,-x+y)
A=(-1,1),(1,2) e B=(1,-3),(0,2)
b) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(2 x-3 y, x+y)
A=(1,0),(0,1) e B=(3,0),(-2,-1)
c) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(7 x-4 y,-4 x+y)
A é a base canônica e B=(-2,1),(1,2)

Passo 1

O enunciado pede para, em cada item, determinar a matriz de T na base A e em seguida na base B. Como estamos em R^2, podemos usar a relação de similaridade entre matrizes: se PA é a matriz cujas colunas são os vetores de A escritos na base canônica e PB análogo para B, então
[T]A = PA^-1,[T]std,PA
e
[T]B = PB^-1,[T]std,PB,
onde [T]std é a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Item (a): T(x,y)=(x+2y,,-x+y) tem
[T]std = 1 & 2 -1 & 1
A base A=(-1,1),(1,2) gera
PA = -1 & 1 1 & 2, det PA = -3, PA^-1 = -tfrac132 & -1 -1 & -1 = -tfrac23 & tfrac13 tfrac13 & tfrac13
Calculando
[T]A = PA^-1,[T]std,PA = -tfrac23 & tfrac13 tfrac13 & tfrac13 1 & 2 -1 & 1 -1 & 1 1 & 2 = 0 & -3 1 & 2

Passo 3

Ainda em (a), a base B=(1,-3),(0,2)
PB = 1 & 0 -3 & 2, det PB = 2, PB^-1 = tfrac122 & 0 3 & 1 = 1 & 0 tfrac32 & tfrac12
Logo
[T]B = PB^-1,[T]std,PB = 1 & 0 tfrac32 & tfrac12 1 & 2 -1 & 1 1 & 0 -3 & 2 = -5 & 4 -tfrac192 & 7

Passo 4

Item (b): T(x,y)=(2x-3y,;x+y) tem já na base canônica
[T]A = [T]std = 2 & -3 1 & 1
A base B=(3,0),(-2,-1) gera
PB = 3 & -2 0 & -1, det PB = -3, PB^-1 = -tfrac13-1 & 2 0 & 3 = tfrac13 & -tfrac23 0 & -1
Então
[T]B = PB^-1,[T]std,PB = tfrac13 & -tfrac23 0 & -1 2 & -3 1 & 1 3 & -2 0 & -1 = 0 & tfrac53 -3 & 3

Passo 5

Item (c): T(x,y)=(7x-4y,,-4x+y) tem na base canônica
[T]A = [T]std = 7 & -4 -4 & 1
A base B=(-2,1),(1,2)
PB = -2 & 1 1 & 2, det PB = -5, PB^-1 = -tfrac152 & -1 -1 & -2 = -tfrac25 & tfrac15 tfrac15 & tfrac25
Logo
[T]B = PB^-1,[T]std,PB = -tfrac25 & tfrac15 tfrac15 & tfrac25 7 & -4 -4 & 1 -2 & 1 1 & 2 = 9 & 0 0 & -1

Resposta

(a) [T]A=0 & -3 1 & 2,;[T]B=-5 & 4 -tfrac192 & 7
(b) [T]A=2 & -3 1 & 1,;[T]B=0 & tfrac53 -3 & 3
(c) [T]A=7 & -4 -4 & 1,;[T]B=9 & 0 0 & -1

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