Dentre todos os pares de números com soma raiz6, determine aquele cuja soma dos quadrados dos números é mínima.

Passo 1

O enunciado pede: entre todos os pares de números (x,y) com soma fixa
x + y = raiz6, determinar o par que minimiza
x^2 + y^2
Este é um problema de otimização com restrição simples; vamos usar substituição e derivadas para resolver.

Passo 2

Como y = raiz6 - x, podemos escrever a soma dos quadrados em função só de x:
S(x) = x^2 + (raiz6 - x)^2
Expandindo,
S(x) = x^2 + (,6 - 2raiz6,x + x^2) = 2x^2 - 2raiz6,x + 6

Passo 3

Para minimizar S(x), calculemos a derivada e igualemos a zero:
S'(x) = ddxl(2x^2 - 2raiz6,x + 6r) = 4x - 2raiz6
Impondo S'(x)=0
4x - 2raiz6 = 0 Longrightarrow x = raiz62

Passo 4

Então
y = raiz6 - x = raiz6 - raiz62 = raiz62
Como S''(x)=4>0, este ponto é mínimo.

Resposta

O par que minimiza x^2+y^2 sob x+y=raiz6 é
l(tfracraiz62,,tfracraiz62r)

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