Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
a) Domínio da função;
b) O que ocorre nos extremos do domínio da função;
c) Intervalos de crescimento ou decrescimento;
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=x^{3}-3 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=x^3-3x e indicar:
a) domínio;
b) comportamento nos extremos do domínio;
c) intervalos de crescimento e decrescimento;
d) intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para determinar monotonia e concavidade, além de analisar limites.

Passo 2

O domínio de f é todo o conjunto dos números reais, pois não há raiz par nem divisão por zero em x^3-3x.
Nos extremos do domínio temos
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Isso mostra que à direita o gráfico cresce sem limite e à esquerda decresce sem limite.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para ver onde f cresce ou decresce:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x)=3x^2-3=3\bigl(x^2-1\bigr).
As raízes de f' são x=\pm1. O sinal de f' é
  • f'(x)>0 se \lvert x\rvert>1, logo f cresce em (-\infty,-1) e (1,\infty);
  • f'(x)<0 se \lvert x\rvert<1, logo f decresce em (-1,1).
    Em x=-1 ocorre mudança de “sobe” para “desce”, caracterizando um máximo local de valor
f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2.
Em x=1 ocorre mudança de “desce” para “sobe”, caracterizando um mínimo local de valor
f(1)=1^3-3\cdot1=1-3=-2.

Passo 4

Agora a derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^2-3\bigr)=6x.
Temos f''(x)<0 para x<0 (concavidade voltada para baixo) e f''(x)>0 para x>0 (concavidade voltada para cima). Em x=0 muda o sinal de f'', logo há ponto de inflexão em
(0,f(0))=(0,0).

Resposta

a) Domínio: \mathbb{R}.
b) \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
c) Cresce em (-\infty,-1) e (1,\infty); decresce em (-1,1). Há máximo local em (-1,2) e mínimo local em (1,-2).
d) Concavidade para baixo em (-\infty,0), para cima em (0,\infty), com ponto de inflexão em (0,0).

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