Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
a) Domínio da função;
b) O que ocorre nos extremos do domínio da função;
c) Intervalos de crescimento ou decrescimento;
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
a) Domínio da função;
b) O que ocorre nos extremos do domínio da função;
c) Intervalos de crescimento ou decrescimento;
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
e indicar:
a) domínio;
b) comportamento nos extremos do domínio;
c) intervalos de crescimento e decrescimento;
d) intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para determinar monotonia e concavidade, além de analisar limites.
a) domínio;
b) comportamento nos extremos do domínio;
c) intervalos de crescimento e decrescimento;
d) intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para determinar monotonia e concavidade, além de analisar limites.
Passo 2
O domínio de
é todo o conjunto dos números reais, pois não há raiz par nem divisão por zero em
.
Nos extremos do domínio temos
Nos extremos do domínio temos
Isso mostra que à direita o gráfico cresce sem limite e à esquerda decresce sem limite.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para ver onde
cresce ou decresce:
As raízes de
são
. O sinal de
é
-
se , logo cresce em e ; -
se , logo decresce em .
Emocorre mudança de “sobe” para “desce”, caracterizando um máximo local de valor
Em
ocorre mudança de “desce” para “sobe”, caracterizando um mínimo local de valor
Passo 4
Agora a derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
Temos
para
(concavidade voltada para baixo) e
para
(concavidade voltada para cima). Em
muda o sinal de
, logo há ponto de inflexão em
Resposta
a) Domínio:
.
b) e
.
c) Cresce em e
; decresce em
. Há máximo local em
e mínimo local em
.
d) Concavidade para baixo em , para cima em
, com ponto de inflexão em
.
b)
c) Cresce em
d) Concavidade para baixo em