Determine a base e a altura de uma cartolina retangular de perimetro 60 cm que, ao girar uma volta completa em torno de um lado, gere um cilindro de volume máximo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre as medidas (base e altura) de uma cartolina retangular cujo perímetro é
e que, quando a cartolina dá uma volta completa em torno de um dos seus lados, gera um cilindro de volume máximo.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- O perímetro do retângulo é
. - Ao girar o retângulo em torno de um lado, forma-se um cilindro com raio igual ao comprimento do lado oposto ao eixo de rotação e altura igual ao comprimento do lado que foi usado como eixo.
O que precisamos encontrar: as medidas da base e da altura do retângulo que tornam o volume do cilindro máximo.
Passo 2
Vamos definir variáveis claras (isso evita confusão na hora da prova): seja a base do retângulo
e a altura
, ambas em centímetros. O perímetro
do retângulo é a soma de todos os lados, então temos a equação
Como o enunciado deu
, isso vira uma relação entre
e
:
Passo 3
A partir da equação do perímetro, isolamos uma variável. Por exemplo, isolando
:
Isso é importante: reduzimos as duas variáveis para apenas uma, o que facilita maximizar o volume.
Passo 4
Agora, vamos entender a geometria do cilindro gerado: se girarmos o retângulo em torno de um lado, o cilindro formado terá
- raio igual ao comprimento do lado perpendicular ao eixo de rotação (ou seja, se o eixo é o lado de comprimento
, o raio será ); - altura igual ao comprimento do lado escolhido como eixo (ou seja,
).
Então a fórmula do volume do cilindro é
onde
é o raio. Tomando
e altura
, obtemos
Substituindo
encontramos o volume em função de uma só variável
:
Passo 5
Vamos maximizar a função
para
no intervalo
(porque lados positivos e
senão
negativa). Para isso derivamos
em relação a
e procuramos pontos críticos. Primeiro aplicamos a regra do produto/derivação:
Derivando:
Simplificando essa expressão:
Colocando em fator comum:
Os zeros de
são
e
. O ponto
não é fisicamente relevante (lado nulo), então o candidato interior é
.
Passo 6
Para confirmar que
dá máximo e não mínimo, usamos a segunda derivada. Derivando
:
Avalia em
:
Como a segunda derivada é negativa,
tem um máximo local em
. Como é o único candidato interior e a função vai a zero nas extremidades
e
, esse é o máximo global no intervalo admissível.
Passo 7
Agora encontramos a outra dimensão
usando
:
Interpretação física: com
e
, se girarmos o retângulo em torno do lado de comprimento
(ou seja, esse lado é o eixo), o cilindro terá raio
e altura
, e esse cilindro tem volume máximo possível dado o perímetro fixo.