Determine a base e a altura de uma cartolina retangular de perimetro 60 cm que, ao girar uma volta completa em torno de um lado, gere um cilindro de volume máximo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre as medidas (base e altura) de uma cartolina retangular cujo perímetro é 60\\ \text{cm} e que, quando a cartolina dá uma volta completa em torno de um dos seus lados, gera um cilindro de volume máximo.
Informações dadas que vamos usar:
  • O perímetro do retângulo é 60\\ \text{cm}.
  • Ao girar o retângulo em torno de um lado, forma-se um cilindro com raio igual ao comprimento do lado oposto ao eixo de rotação e altura igual ao comprimento do lado que foi usado como eixo.
    O que precisamos encontrar: as medidas da base e da altura do retângulo que tornam o volume do cilindro máximo.

Passo 2

Vamos definir variáveis claras (isso evita confusão na hora da prova): seja a base do retângulo b e a altura h, ambas em centímetros. O perímetro P do retângulo é a soma de todos os lados, então temos a equação
P = 2(b+h).
Como o enunciado deu P=60\\ \text{cm}, isso vira uma relação entre b e h:
2(b+h)=60.

Passo 3

A partir da equação do perímetro, isolamos uma variável. Por exemplo, isolando h:
2(b+h)=60 \quad\Rightarrow\quad b+h=30 \quad\Rightarrow\quad h=30-b.
Isso é importante: reduzimos as duas variáveis para apenas uma, o que facilita maximizar o volume.

Passo 4

Agora, vamos entender a geometria do cilindro gerado: se girarmos o retângulo em torno de um lado, o cilindro formado terá
  • raio igual ao comprimento do lado perpendicular ao eixo de rotação (ou seja, se o eixo é o lado de comprimento h, o raio será b);
  • altura igual ao comprimento do lado escolhido como eixo (ou seja, h).
    Então a fórmula do volume do cilindro é
V = \pi r^{2} \cdot (\text{altura}),
onde r é o raio. Tomando r=b e altura h, obtemos
V(b,h)=\pi b^{2}h.
Substituindo h=30-b encontramos o volume em função de uma só variável b:
V(b)=\pi b^{2}(30-b).

Passo 5

Vamos maximizar a função V(b) para b no intervalo (0,30) (porque lados positivos e b<30 senão h negativa). Para isso derivamos V(b) em relação a b e procuramos pontos críticos. Primeiro aplicamos a regra do produto/derivação:
V(b)=\pi\bigl(b^{2}(30-b)\bigr).
Derivando:
V'(b)=\pi\bigl(2b(30-b)+b^{2}(-1)\bigr).
Simplificando essa expressão:
V'(b)=\pi\bigl(60b-2b^{2}-b^{2}\bigr)=\pi\bigl(60b-3b^{2}\bigr).
Colocando em fator comum:
V'(b)=\pi b(60-3b).
Os zeros de V'(b) são b=0 e 60-3b=0\Rightarrow b=20. O ponto b=0 não é fisicamente relevante (lado nulo), então o candidato interior é b=20\\ \text{cm}.

Passo 6

Para confirmar que b=20\\ \text{cm} dá máximo e não mínimo, usamos a segunda derivada. Derivando V'(b):
V''(b)=\pi(60-6b).
Avalia em b=20:
V''(20)=\pi(60-120)=\pi(-60)=-60\pi<0.
Como a segunda derivada é negativa, V tem um máximo local em b=20. Como é o único candidato interior e a função vai a zero nas extremidades b\to 0^+ e b\to 30^-, esse é o máximo global no intervalo admissível.

Passo 7

Agora encontramos a outra dimensão h usando h=30-b:
h=30-20=10.
Interpretação física: com b=20\\ \text{cm} e h=10\\ \text{cm}, se girarmos o retângulo em torno do lado de comprimento h=10\\ \text{cm} (ou seja, esse lado é o eixo), o cilindro terá raio b=20\\ \text{cm} e altura 10\\ \text{cm}, e esse cilindro tem volume máximo possível dado o perímetro fixo.

Resposta

\text{base} = 20\\ \text{cm}
\text{altura} = 10\\ \text{cm}

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