Determine as coordenadas do vetor vecw=(2,1,0) em relação à base B=v1, v2, v3, onde:
v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado dá o vetor vec w=(2,1,0) e a base B=vec v1,vec v2,vec v3 com
vec v1=(1,1,0), vec v2=(0,1,1), vec v3=(1,0,1). O objetivo é achar escalares a,b,c tais que
vec w = a,vec v1 + b,vec v2 + c,vec v3. Esse é um problema de mudança de base em R^3.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas,
a,vec v1 + b,vec v2 + c,vec v3 = a(1,1,0) + b(0,1,1) + c(1,0,1) = l(a+c,;a+b,;b+cr)
Como isso deve ser igual a vec w=(2,1,0), montamos um sistema para a,b,c.

Passo 3

O sistema é
a + c = 2, a + b = 1, b + c = 0
Da terceira equação vem b = -c. Substituindo na segunda, a + (-c) = 1, logo
a = 1 + c

Passo 4

Substituindo a=1+c na primeira equação,
(1 + c) + c = 2 Longrightarrow 1 + 2c = 2 Longrightarrow c = tfrac12
Assim b = -tfrac12 e a = 1 + tfrac12 = tfrac32.

Passo 5

Logo as coordenadas de vec w na base B são
[a,b,c] B = l(tfrac32,;-tfrac12,;tfrac12r)

Resposta

l(tfrac32,,-tfrac12,,tfrac12r)

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