Dentro do poço infinito, a energia total é puramente cinética, ou seja, E=m v^2 / 2= p^2 / 2 m. Disso, conclui-se que p^2=2 m E. Agora, tomando a média nesta expressão, ficamos
comlang<= p^2rang<==2 mlang<= Erang<=. Para o primeiro estado excitado de uma partícula em um poço infinito unidimensional, calcule:
(b) lang<= p^2rang<=. Perceba que lang<= p^2rang<= neqlang<= prang<=^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula no primeiro estado excitado de um poço infinito unidimensional. Queremos calcular o valor esperado de $ p^{2} $, denotado por $ \left\langle p^{2} \right\rangle $. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética e operadores de expectativa na mecânica quântica.

Passo 2

Sabemos que a energia total $ E $ de uma partícula em um poço infinito é puramente cinética e é dada por:
E
Aqui, $ m $ é a massa da partícula, $ v $ é a velocidade, e $ p $ é o momento.

Passo 3

Da expressão acima, podemos isolar $ p^{2} $:
p^2
Isso nos mostra que o quadrado do momento está diretamente relacionado à energia da partícula.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado de $ p^{2} $, que é denotado por $ \left\langle p^{2} \right\rangle $. Tomando a média na expressão anterior, temos:
p^2
Aqui, $ \left\langle E \right\rangle $ representa a energia média da partícula no estado considerado.

Passo 5

Para o primeiro estado excitado ($ n = 2 $) de uma partícula em um poço infinito unidimensional, a energia $ E $ é dada por:
n = 2
onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ L $ é a largura do poço, e $ n $ é o número quântico principal.

Passo 6

Substituindo $ n = 2 $ na expressão da energia:
n = 2
Portanto, a energia média $ \left\langle E \right\rangle $ para o primeiro estado excitado é $ \frac{2 \pi^{2} \hbar{2}}{mL{2}} $.

Passo 7

Finalmente, substituindo $ \left\langle E \right\rangle $ na expressão de $ \left\langle p^{2} \right\rangle $:
lang<= E rang<=

Resposta

O valor esperado de $ p^{2} $ para o primeiro estado excitado é:
p^2

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