Dentro do poço infinito, a energia total é puramente cinética, ou seja,
. Disso, conclui-se que
. Agora, tomando a média nesta expressão, ficamos
. Para o primeiro estado excitado de uma partícula em um poço infinito unidimensional, calcule:
(b)
. Perceba que
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula no primeiro estado excitado de um poço infinito unidimensional. Queremos calcular o valor esperado de $ p^{2} $, denotado por $ \left\langle p^{2} \right\rangle $. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética e operadores de expectativa na mecânica quântica.
Passo 2
Sabemos que a energia total $ E $ de uma partícula em um poço infinito é puramente cinética e é dada por:
Aqui, $ m $ é a massa da partícula, $ v $ é a velocidade, e $ p $ é o momento.
Passo 3
Da expressão acima, podemos isolar $ p^{2} $:
Isso nos mostra que o quadrado do momento está diretamente relacionado à energia da partícula.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado de $ p^{2} $, que é denotado por $ \left\langle p^{2} \right\rangle $. Tomando a média na expressão anterior, temos:
Aqui, $ \left\langle E \right\rangle $ representa a energia média da partícula no estado considerado.
Passo 5
Para o primeiro estado excitado ($ n = 2 $) de uma partícula em um poço infinito unidimensional, a energia $ E $ é dada por:
onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ L $ é a largura do poço, e $ n $ é o número quântico principal.
Passo 6
Substituindo $ n = 2 $ na expressão da energia:
Portanto, a energia média $ \left\langle E \right\rangle $ para o primeiro estado excitado é $ \frac{2 \pi^{2} \hbar{2}}{mL{2}} $.
Passo 7
Finalmente, substituindo $ \left\langle E \right\rangle $ na expressão de $ \left\langle p^{2} \right\rangle $:
Resposta
O valor esperado de $ p^{2} $ para o primeiro estado excitado é: