(a) Qual é a incerteza na energia de um estado fundamental, isto é, um estado que não se altera com o tempo? Use o princípio da incerteza para justificar sua resposta.
(b) Um certo átomo tem um estado excitado com largura de linha de 6,58 times 10^-10 eV. Qual é o tempo que este átomo leva para fazer a transição para o estado fundamental?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o princípio da incerteza na física quântica. Temos duas partes: (a) descobrir a incerteza na energia de um estado fundamental que não muda com o tempo, usando o princípio da incerteza, e (b) calcular o tempo que um átomo leva para ir de um estado excitado para o estado fundamental, dado a largura de linha desse estado excitado. Para isso, vamos precisar entender como o princípio da incerteza se aplica à energia e ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o princípio da incerteza de Heisenberg. Esse princípio nos diz que há um limite na precisão com que podemos medir certos pares de propriedades de uma partícula ao mesmo tempo. No caso, estamos interessados na relação entre a incerteza na energia ( De) e a incerteza no tempo ( De), que é dada por:
Onde hbar é a constante de Planck reduzida, aproximadamente 1,054 times 10^-34 J cdot s.

Passo 3

Para a parte (a), queremos saber a incerteza na energia de um estado fundamental que não muda com o tempo. Se o estado não muda com o tempo, isso significa que ele é estável e, portanto, o tempo característico ( De) é muito grande, tendendo ao infinito. Se De tende ao infinito, para que a desigualdade do princípio da incerteza seja satisfeita, a incerteza na energia ( De) deve ser muito pequena, ou praticamente zero. Isso indica que a energia nesse estado é bem definida.

Passo 4

Agora, na parte (b), temos um átomo em um estado excitado com uma largura de linha de 6,58 times 10^-10 eV. Essa largura de linha está relacionada à incerteza na energia ( De) desse estado excitado. Queremos encontrar o tempo ( De) que o átomo leva para fazer a transição para o estado fundamental. Voltando à relação do princípio da incerteza:
Vamos reorganizar essa expressão para encontrar De:

Passo 5

Substituindo os valores, primeiro precisamos converter a largura de linha de elétron-volt para joules, já que hbar está em joules por segundo. Sabemos que 1 eV = 1,602 times 10^-19 J. Então:
De

Passo 6

Resposta

(a) A incerteza na energia de um estado fundamental que não muda com o tempo é praticamente zero.
(b) O átomo leva aproximadamente 5 times 10^-7 segundos para fazer a transição para o estado fundamental.

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