(a) Qual é a incerteza na energia de um estado fundamental, isto é, um estado que não se altera com o tempo? Use o princípio da incerteza para justificar sua resposta.
(b) Um certo átomo tem um estado excitado com largura de linha de
. Qual é o tempo que este átomo leva para fazer a transição para o estado fundamental?
(b) Um certo átomo tem um estado excitado com largura de linha de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o princípio da incerteza na física quântica. Temos duas partes: (a) descobrir a incerteza na energia de um estado fundamental que não muda com o tempo, usando o princípio da incerteza, e (b) calcular o tempo que um átomo leva para ir de um estado excitado para o estado fundamental, dado a largura de linha desse estado excitado. Para isso, vamos precisar entender como o princípio da incerteza se aplica à energia e ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o princípio da incerteza de Heisenberg. Esse princípio nos diz que há um limite na precisão com que podemos medir certos pares de propriedades de uma partícula ao mesmo tempo. No caso, estamos interessados na relação entre a incerteza na energia (
) e a incerteza no tempo (
), que é dada por:
Onde
é a constante de Planck reduzida, aproximadamente
.
Passo 3
Para a parte (a), queremos saber a incerteza na energia de um estado fundamental que não muda com o tempo. Se o estado não muda com o tempo, isso significa que ele é estável e, portanto, o tempo característico (
) é muito grande, tendendo ao infinito. Se
tende ao infinito, para que a desigualdade do princípio da incerteza seja satisfeita, a incerteza na energia (
) deve ser muito pequena, ou praticamente zero. Isso indica que a energia nesse estado é bem definida.
Passo 4
Agora, na parte (b), temos um átomo em um estado excitado com uma largura de linha de
. Essa largura de linha está relacionada à incerteza na energia (
) desse estado excitado. Queremos encontrar o tempo (
) que o átomo leva para fazer a transição para o estado fundamental. Voltando à relação do princípio da incerteza:
Vamos reorganizar essa expressão para encontrar
:
Passo 5
Substituindo os valores, primeiro precisamos converter a largura de linha de elétron-volt para joules, já que
está em joules por segundo. Sabemos que
. Então:
Passo 6
Agora aplicamos na fórmula:
Resposta
(a) A incerteza na energia de um estado fundamental que não muda com o tempo é praticamente zero.
(b) O átomo leva aproximadamente
segundos para fazer a transição para o estado fundamental.