A partir de uma análise da conservação de energia em um fluido em movimento, deduza a equação de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para deduzirmos a Equação de Bernoulli a partir da conservação de energia em um fluido em movimento. Isso envolve entender como energia se comporta em fluidos, como água ou ar, que estão se movendo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e energia de pressão. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, imagine que temos um fluido incompressível (como a água) e sem viscosidade (sem atrito interno) fluindo através de um tubo. Vamos considerar duas seções diferentes desse tubo, digamos, P1 e P2. Nosso objetivo é comparar a energia do fluido nessas duas seções.

Passo 3

A conservação de energia nos diz que a energia total do fluido deve ser a mesma em qualquer ponto do fluxo, desde que não haja ganho ou perda de energia. Então, a energia total no ponto P1 deve ser igual à energia total no ponto P2.

Passo 4

A energia total em cada ponto é composta por três partes:
  1. Energia de pressão: relacionada à força exercida pelo fluido.
  2. Energia cinética: relacionada à velocidade do fluido.
  3. Energia potencial gravitacional: relacionada à altura do fluido em relação a um ponto de referência.
Matematicamente, isso fica assim para cada ponto:
P + 12 rho v^2 + rho g h = constante
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ \rho $ é a densidade do fluido,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura.

Passo 5

Vamos aplicar isso aos pontos P1 e P2:
Para P1:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1
Para P2:
P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Como a energia total é constante, podemos igualar as duas expressões:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2

Passo 6

Essa equação que acabamos de escrever é a Equação de Bernoulli! Ela nos mostra que, ao longo de uma linha de fluxo, a soma da pressão, da energia cinética e da energia potencial gravitacional permanece constante.

Resposta

A Equação de Bernoulli é dada por:
P + 12 rho v^2 + rho g h = constante

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