QUESTÃO 3: Considere o processo termodinâmico de expansão adiabática de um gás ideal em que o gás, partindo do estado inicial de pressão p_{\mathrm{i}} e volume V_{\mathrm{i}} e passa vagarosamente para estado final de pressão p_{\mathrm{f}} e volume V_{\mathrm{f}}. Sabe-se que em tal processo \gamma (onde \gamma>1 ) representa a razão entre os calores específicos molares à pressão e a volume constante do gás.
(a) (\mathbf{0 , 5}) Determine a relação entre p_{\mathrm{i}}, V_{\mathrm{i}} e p_{\mathrm{f}}, V_{\mathrm{f}} para este processo adiabático.
(b) (2,0) Calcule o trabalho realizado durante tal processo de expansão. Expresse seu resultado em termos de p_{\mathrm{i}}, p_{\mathrm{f}}, V_{\mathrm{i}} e V_{\mathrm{f}} e \gamma.
(c) (\mathbf{1 , 0}) Usando sua resposta em no item (a) e a equação dos gases ideais, calcule a relação entre T_{\mathrm{i}}, V_{\mathrm{i}} \mathrm{e} T_{\mathrm{f}}, V_{\mathrm{f}}, onde T_{\mathrm{i}} é a temperatura no estado inicial e T_{\mathrm{f}} a temperatura no estado final, para este processo adiabático.
2a IHAMADA - Física GOMAL 2-2019.1

Passo 1

O enunciado trata da expansão adiabática reversível de um gás ideal, partindo de (p_{\mathrm{i}},V_{\mathrm{i}}) até (p_{\mathrm{f}},V_{\mathrm{f}}). O conteúdo necessário é:
– A lei de Poisson para processos adiabáticos: \,pV^{\gamma}=\mathrm{constante}\,.
– Cálculo de trabalho via W=\int p\,dV.
– Equação de estado pV=nR\,T para relacionar temperaturas e volumes.

Passo 2

Em todo processo adiabático reversível de gás ideal vale a lei de Poisson
pV^{\gamma}=\mathrm{constante}.
Aplicando aos estados inicial e final obtemos
p_{\mathrm{i}}\,V_{\mathrm{i}}^{\gamma} = p_{\mathrm{f}}\,V_{\mathrm{f}}^{\gamma}.

Passo 3

Para o trabalho W realizado pela expansão calculamos
W=\int_{V_{\mathrm{i}}}^{V_{\mathrm{f}}}p\,dV,
onde de Poisson p(V)=p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}^{\gamma}V^{-\gamma}. Logo
W = p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}^{\gamma} \int_{V_{\mathrm{i}}}^{V_{\mathrm{f}}}V^{-\gamma}\,dV = \frac{p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}^{\gamma}}{1-\gamma} \Bigl[V^{1-\gamma}\Bigr]_{V_{\mathrm{i}}}^{V_{\mathrm{f}}}
= \frac{p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}^{\gamma}}{\gamma-1} \bigl(V_{\mathrm{i}}^{1-\gamma}-V_{\mathrm{f}}^{1-\gamma}\bigr).
Usando p_{\mathrm{f}}V_{\mathrm{f}}^{\gamma}=p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}^{\gamma} vê-se que
p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}^{\gamma}V_{\mathrm{i}}^{1-\gamma}=p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}, \quad p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}^{\gamma}V_{\mathrm{f}}^{1-\gamma}=p_{\mathrm{f}}V_{\mathrm{f}},
portanto
W=\frac{p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}-p_{\mathrm{f}}V_{\mathrm{f}}}{\gamma-1}.

Passo 4

Para relacionar temperaturas usamos pV=nR\,T e a lei de Poisson. De
pV^{\gamma}=\mathrm{constante} \quad\text{e}\quad p=\frac{nR\,T}{V}
segue
nR\,T\,V^{\gamma-1}=\mathrm{constante'} \;\Longrightarrow\; T\,V^{\gamma-1}=\mathrm{constante}.
Assim, nos estados inicial e final
T_{\mathrm{i}}\,V_{\mathrm{i}}^{\gamma-1} = T_{\mathrm{f}}\,V_{\mathrm{f}}^{\gamma-1}.

Resposta

(a) \;p_{\mathrm{i}}\,V_{\mathrm{i}}^{\gamma}=p_{\mathrm{f}}\,V_{\mathrm{f}}^{\gamma}.
(b) \;W=\displaystyle\frac{p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}-p_{\mathrm{f}}V_{\mathrm{f}}}{\gamma-1}.
(c) \;T_{\mathrm{i}}\,V_{\mathrm{i}}^{\gamma-1}=T_{\mathrm{f}}\,V_{\mathrm{f}}^{\gamma-1}.

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