Dentro do volume definido por V=0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1 existe a densidade de corrente barJ=2 x^2 barax+1 y z baray+5 z baraz(mA / m^2). Determine: (a) O fluxo de corrente que sai do volume V pela superficie x=1 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o fluxo de corrente que sai de um volume cúbico definido por $ 0 \leq x \leq 1 $, $ 0 \leq y \leq 1 $ e $ 0 \leq z \leq 1 $ pela superfície onde $ x = 1 $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de fluxo de corrente, que usa conceitos de vetores e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de corrente através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar da densidade de corrente $ \bar{J} $ com o vetor normal à superfície $ \bar{n} $. Matemáticamente, isso é representado por:
barJ
No nosso caso, a superfície $ x = 1 $ é uma das faces do cubo, e o vetor normal a essa superfície é $ \bar{a}_x $, que aponta na direção positiva de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos identificar a densidade de corrente $ \bar{J} $ na superfície $ x = 1 $. A função dada é:
barJ
Como estamos na superfície $ x = 1 $, substituímos $ x $ por 1:
x = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar $ \bar{J} \cdot \bar{n} $. Já que $ \bar{n} = \bar{a}_x $, temos:
barJ cdot barn
Os outros termos desaparecem porque $ \bar{a}_y \cdot \bar{a}_x = 0 $ e $ \bar{a}_z \cdot \bar{a}_x = 0 $.

Passo 5

Com o produto escalar calculado, o fluxo se simplifica para:
Fluxo = integral duplaS 2 , dS
Agora, precisamos determinar a área da superfície $ S $. Como $ S $ é uma face do cubo com lados de comprimento 1, a área é:
S

Passo 6

Finalmente, calculamos o fluxo multiplicando o valor constante pela área:
Fluxo = 2 times 1 = 2 , mA

Resposta

O fluxo de corrente que sai do volume $ V $ pela superfície $ x = 1 , m $ é de 2 mA.

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