Resolva as inequações
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão à esquerda é uma potência com base
e expoente . - O lado direito é o número
. - A incógnita é
e o domínio natural para numa potência dessa forma é todo o conjunto dos números reais.
Passo 2
Vou escolher um método que fique bem claro: reescrever ambas as potências com a mesma base (a base
é natural aqui, porque
e
são potências de
). Outra alternativa seria usar logaritmos; mais adiante mostro essa alternativa para reforçar o conceito. A vantagem de passar para a mesma base é que, quando a base usada for maior que
, podemos comparar diretamente os expoentes (propriedade de monotonicidade das funções exponenciais).
Passo 3
Reescrevendo a base
como potência de
:
Usando a propriedade
, obtemos
Passo 4
Substituindo na inequação, ficamos com
Escrevendo o
como
, temos
Agora aplicamos a propriedade de monotonicidade: para base
(aqui
), a função
é crescente, ou seja,
Portanto, como
, a inequação entre potências é equivalente à inequação entre expoentes:
Passo 5
Resolvendo a inequação linear
:
- Multiplicando ambos os lados por
(lembre que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte):
- Dividindo ambos os lados por
(não inverte a desigualdade):
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Se
, e (verdadeiro). - Se
, e (falso), então não pode estar na solução. - No ponto limite
:
logo a igualdade ocorre e o ponto limite pertence à solução.
Passo 7
(Método alternativo com logaritmos, só para aprender outra técnica.)
Tomando log natural em ambos os lados:
Tomando log natural em ambos os lados:
Usando
:
Como
é negativo, ao dividir por esse número negativo a desigualdade inverte:
mesma resposta que obtivemos antes.