Resolva as inequações
\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \leqslant 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação \left(\dfrac{1}{4}\right)^{x} \leqslant 2.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão à esquerda é uma potência com base \dfrac{1}{4} e expoente x.
  • O lado direito é o número 2.
  • A incógnita é x e o domínio natural para x numa potência dessa forma é todo o conjunto dos números reais.

Passo 2

Vou escolher um método que fique bem claro: reescrever ambas as potências com a mesma base (a base 2 é natural aqui, porque \dfrac{1}{4} e 2 são potências de 2). Outra alternativa seria usar logaritmos; mais adiante mostro essa alternativa para reforçar o conceito. A vantagem de passar para a mesma base é que, quando a base usada for maior que 1, podemos comparar diretamente os expoentes (propriedade de monotonicidade das funções exponenciais).

Passo 3

Reescrevendo a base \dfrac{1}{4} como potência de 2:
\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}.
Usando a propriedade (a^{b})^{c}=a^{bc}, obtemos
\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = (2^{-2})^{x} = 2^{-2x}.

Passo 4

Substituindo na inequação, ficamos com
2^{-2x} \leqslant 2.
Escrevendo o 2 como 2^{1}, temos
2^{-2x} \leqslant 2^{1}.
Agora aplicamos a propriedade de monotonicidade: para base a>1 (aqui a=2), a função a^{t} é crescente, ou seja,
a^{u} \le a^{v} \iff u \le v.
Portanto, como 2>1, a inequação entre potências é equivalente à inequação entre expoentes:
-2x \leqslant 1.

Passo 5

Resolvendo a inequação linear -2x \leqslant 1:
  • Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte):
2x \geqslant -1.
  • Dividindo ambos os lados por 2>0 (não inverte a desigualdade):
x \geqslant -\frac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Se x=0, \left(\dfrac{1}{4}\right)^{0}=1 e 1\leqslant 2 (verdadeiro).
  • Se x=-1, \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}=4 e 4\leqslant 2 (falso), então x=-1 não pode estar na solução.
  • No ponto limite x=-\dfrac{1}{2}:
\left(\frac{1}{4}\right)^{-1/2} = (2^{-2})^{-1/2} = 2^{1} = 2,
logo a igualdade ocorre e o ponto limite pertence à solução.

Passo 7

(Método alternativo com logaritmos, só para aprender outra técnica.)
Tomando log natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\right) \leqslant \ln 2.
Usando \ln(a^{b})=b\ln a:
x\ln\!\left(\frac{1}{4}\right) \leqslant \ln 2.
Como \ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right)=\ln(2^{-2})=-2\ln 2 é negativo, ao dividir por esse número negativo a desigualdade inverte:
x \geqslant \frac{\ln 2}{\ln(1/4)} = \frac{\ln 2}{-2\ln 2} = -\frac{1}{2},
mesma resposta que obtivemos antes.

Resposta

x \geqslant -\dfrac{1}{2}

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