O departamento de controle de qualidade de um laboratório farmacêutico decidiu efetuar o seguinte experimento aleatório: retirar sequencialmente três aspirinas de um grande lote para análise. Cada aspirina é avaliada como obedece ou não obedece as especificações exigidas. Suponha que a probabilidade de uma aspirina obedecer as especificações seja de 0,8 e que as aspirinas são independentes.
a) Qual a probabilidade de que todas as três aspirinas obedeçam as especificações? (Resposta: 0,5120)
b) Determine a função de probabilidade do número de aspirinas que obedecem as especificações. Prove que
é função de probabilidade. (Resposta parcial: 0,
e 0,51200 )
c) Determine o valor esperado do número de aspirinas que obedecem as especificações e o seu desvio padrão.Resposta: 2,4000 e 0,6928
a) Qual a probabilidade de que todas as três aspirinas obedeçam as especificações? (Resposta: 0,5120)
b) Determine a função de probabilidade do número de aspirinas que obedecem as especificações. Prove que
c) Determine o valor esperado do número de aspirinas que obedecem as especificações e o seu desvio padrão.Resposta: 2,4000 e 0,6928
Passo 1
O enunciado descreve um experimento em que retiramos sequencialmente três aspirinas, cada uma obedecendo às especificações com probabilidade
de forma independente. Seja
o número de aspirinas que obedecem às especificações. Como temos um número fixo de ensaios independentes com duas categorias (sucesso ou fracasso), vamos modelar
por uma distribuição binomial
. Precisamos calcular:
a) .
b) A função de probabilidade para
e verificar que
.
c) e o desvio padrão
.
a)
b) A função de probabilidade
c)
Passo 2
Para a parte (a), basta usar
Passo 3
Para a parte (b), a função de probabilidade de uma binomial
é
Calculando cada valor:
Para provar que isso é uma função de probabilidade basta somar:
pela expansão do binômio de Newton.
Passo 4
Para a parte (c), usamos as fórmulas da binomial:
Resposta
a)
b) ,
,
,
c) e
b)
c)