O departamento de controle de qualidade de um laboratório farmacêutico decidiu efetuar o seguinte experimento aleatório: retirar sequencialmente três aspirinas de um grande lote para análise. Cada aspirina é avaliada como obedece ou não obedece as especificações exigidas. Suponha que a probabilidade de uma aspirina obedecer as especificações seja de 0,8 e que as aspirinas são independentes.
a) Qual a probabilidade de que todas as três aspirinas obedeçam as especificações? (Resposta: 0,5120)
b) Determine a função de probabilidade do número de aspirinas que obedecem as especificações. Prove que f(x) é função de probabilidade. (Resposta parcial: 0, 0080 ; 0,0960 ; 0,38400 e 0,51200 )
c) Determine o valor esperado do número de aspirinas que obedecem as especificações e o seu desvio padrão.Resposta: 2,4000 e 0,6928

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que retiramos sequencialmente três aspirinas, cada uma obedecendo às especificações com probabilidade 0,8 de forma independente. Seja X o número de aspirinas que obedecem às especificações. Como temos um número fixo de ensaios independentes com duas categorias (sucesso ou fracasso), vamos modelar X por uma distribuição binomial \mathrm{Bin}(n=3,p=0.8). Precisamos calcular:
a) \Pr(X=3).
b) A função de probabilidade f(x)=\Pr(X=x) para x=0,1,2,3 e verificar que \sum_{x=0}^{3}f(x)=1.
c) E[X] e o desvio padrão \sigma_X.

Passo 2

Para a parte (a), basta usar
\Pr(X=3)=p^3=(0,8)^3=0,512.

Passo 3

Para a parte (b), a função de probabilidade de uma binomial \mathrm{Bin}(3,0.8) é
f(x)=\Pr(X=x)=\binom{3}{x}(0,8)^x\,(0,2)^{3-x},\quad x=0,1,2,3.
Calculando cada valor:
f(0)=\binom{3}{0}(0,8)^0(0,2)^3=1\cdot1\cdot0,008=0,008,
f(1)=\binom{3}{1}(0,8)^1(0,2)^2=3\cdot0,8\cdot0,04=0,096,
f(2)=\binom{3}{2}(0,8)^2(0,2)^1=3\cdot0,64\cdot0,2=0,384,
f(3)=\binom{3}{3}(0,8)^3(0,2)^0=1\cdot0,512\cdot1=0,512.
Para provar que isso é uma função de probabilidade basta somar:
\sum_{x=0}^{3}f(x)=(0,8+0,2)^3=1^3=1,
pela expansão do binômio de Newton.

Passo 4

Para a parte (c), usamos as fórmulas da binomial:
E[X]=n\,p=3\cdot0,8=2,4,
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p)=3\cdot0,8\cdot0,2=0,48 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_X=\sqrt{0,48}\approx0,6928.

Resposta

a) 0,512
b) f(0)=0,008, f(1)=0,096, f(2)=0,384, f(3)=0,512
c) E[X]=2,4 e \sigma_X\approx0,6928

Exercícios relacionados