Suponha que um total de três células é replicado. DNA, recém-sintetizado, não pode ser replicado novamente até que a mitose seja completada. Dois mecanismos de controle foram identificados - um positivo e um negativo - que são usados com igual probabilidade. Considere que cada célula use independentemente um mecanismo de controle.
a) Determine a função de probabilidade do número de células que usa um mecanismo positivo de controle. (Resposta parcial: 0, 1250 ; 0,3750 ; 0,3750 e 0,1250 )
b) Calcule a esperança do número de componentes no arranjo que satisfazem as especificações e sua variância. (Resposta: 1.5000 e 0.7500 )

Passo 1

O enunciado diz que temos três células, cada uma usando um mecanismo de controle positivo com probabilidade igual a 0,5, de forma independente. Seja X o número de células que usam o mecanismo positivo. Este é um caso clássico de distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=0{,}5.

Passo 2

A função de probabilidade de X é dada por
p_X(k)=\Pr(X=k)=\binom{3}{k}(0{,}5)^k(0{,}5)^{3-k},\quad k=0,1,2,3.
Calculando cada termo:
\begin{aligned} \Pr(X=0)&=\binom{3}{0}(0{,}5)^3=1\cdot0{,}125=0{,}1250,\\\ \Pr(X=1)&=\binom{3}{1}(0{,}5)^3=3\cdot0{,}125=0{,}3750,\\\ \Pr(X=2)&=\binom{3}{2}(0{,}5)^3=3\cdot0{,}125=0{,}3750,\\\ \Pr(X=3)&=\binom{3}{3}(0{,}5)^3=1\cdot0{,}125=0{,}1250. \end{aligned}

Passo 3

Para a distribuição binomial temos as fórmulas
\mathbb{E}[X]=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).
Substituindo n=3 e p=0{,}5:
\mathbb{E}[X]=3\cdot0{,}5=1{,}5000,\qquad \operatorname{Var}(X)=3\cdot0{,}5\cdot0{,}5=0{,}7500.

Resposta

(a) \Pr(X=0)=0{,}1250,\;\Pr(X=1)=0{,}3750,\;\Pr(X=2)=0{,}3750,\;\Pr(X=3)=0{,}1250.\n(b) \mathbb{E}[X]=1{,}5000,\;\operatorname{Var}(X)=0{,}7500.

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