A estabilidade de um certo óleo depende, entre outras variáveis, do teor em carotenos. Suponha que o teor de carotenos \left(\mathrm{mgkg}^{-1}\right) seja representado por
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} a x & \text { se } & 0 \leq x \leq 1 \\\ a & \text { se } & 1<x \leq 2 \\\\ -a x+3 a & \text { se } & 2<x \leq 3 \\\\ 0 & \text { se } & c c \end{array}\right.
a) Determine o valor de a de modo que f(x) seja uma função densidade de probabilidade. (Resposta: 1/2)
b) Mostre que f(x) \geq 0.
c) Calcule o valor esperado do teor de carotenos e seu desvio padrão. (Resposta: 1,5 e 0,646 )
Passo 1
O enunciado define a função densidade de probabilidade f(x)\) em pedaços:
\[f(x)= \begin{cases} a\,x, & 0 \le x \le 1,\\\ a, & 1 < x \le 2,\\\\ -a\,x + 3a, & 2 < x \le 3,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos (a) achar a\] tal que \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1, (b) mostrar f(x)\ge0, (c) calcular o valor esperado E[X] e o desvio padrão \sigma_X.