A estabilidade de um certo óleo depende, entre outras variáveis, do teor em carotenos. Suponha que o teor de carotenos \left(\mathrm{mgkg}^{-1}\right) seja representado por
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} a x & \text { se } & 0 \leq x \leq 1 \\\ a & \text { se } & 1<x \leq 2 \\\\ -a x+3 a & \text { se } & 2<x \leq 3 \\\\ 0 & \text { se } & c c \end{array}\right.
a) Determine o valor de a de modo que f(x) seja uma função densidade de probabilidade. (Resposta: 1/2)
b) Mostre que f(x) \geq 0.
c) Calcule o valor esperado do teor de carotenos e seu desvio padrão. (Resposta: 1,5 e 0,646 )

Passo 1

O enunciado define a função densidade de probabilidade f(x)\) em pedaços: \[f(x)= \begin{cases} a\,x, & 0 \le x \le 1,\\\ a, & 1 < x \le 2,\\\\ -a\,x + 3a, & 2 < x \le 3,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos (a) achar a\] tal que \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1, (b) mostrar f(x)\ge0, (c) calcular o valor esperado E[X] e o desvio padrão \sigma_X.

Passo 2

Para normalizar, computamos
\int_{0}^{1}a\,x\,dx +\int_{1}^{2}a\,dx +\int_{2}^{3}(-a\,x+3a)\,dx =1.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{1}a\,x\,dx =a\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_0^1 =\tfrac{a}{2},
\int_{1}^{2}a\,dx =a\bigl[x\bigr]_1^2 =a,
\int_{2}^{3}(-a\,x+3a)\,dx =-a\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_2^3 +3a\bigl[x\bigr]_2^3 =-a\Bigl(\tfrac{9-4}{2}\Bigr)+3a(1) =-\tfrac{5a}{2}+3a =\tfrac{a}{2}.
Somando dá \tfrac{a}{2}+a+\tfrac{a}{2}=2a, logo 2a=1 e
a=\tfrac12.

Passo 3

Com a=\tfrac12>0:
  • Para 0\le x\le1: f(x)=\tfrac12x\ge0.
  • Para 1<x\le2: f(x)=\tfrac12\ge0.
  • Para 2<x\le3: f(x)=\tfrac12(3-x)\ge0 pois x\le3.
    Assim f(x)\ge0 em todo lugar.

Passo 4

Calculamos
E[X]=\int_{0}^{1}x\Bigl(\tfrac12x\Bigr)dx +\int_{1}^{2}x\Bigl(\tfrac12\Bigr)dx +\int_{2}^{3}x\Bigl(-\tfrac12x+\tfrac32\Bigr)dx.
Cada termo:
\int_{0}^{1}\tfrac12x^2dx =\tfrac12\cdot\tfrac{1}{3} =\tfrac{1}{6}, \quad \int_{1}^{2}\tfrac12x\,dx =\tfrac12\cdot\tfrac{(2^2-1^2)}{2} =\tfrac{3}{4},
\int_{2}^{3}x\Bigl(-\tfrac12x+\tfrac32\Bigr)dx =\tfrac12\int_{2}^{3}(-x^2+3x)dx =\tfrac12\cdot\tfrac{7}{6} =\tfrac{7}{12}.
Somando: E[X]=\tfrac{1}{6}+\tfrac{3}{4}+\tfrac{7}{12}=\tfrac{18}{12}=\tfrac{3}{2}=1{,}5.

Passo 5

Para a variância, primeiro
E[X^2] =\int_{0}^{1}x^2\Bigl(\tfrac12x\Bigr)dx +\int_{1}^{2}x^2\Bigl(\tfrac12\Bigr)dx +\int_{2}^{3}x^2\Bigl(-\tfrac12x+\tfrac32\Bigr)dx.
Calcula-se
\int_{0}^{1}\tfrac12x^3dx=\tfrac{1}{8}, \quad \int_{1}^{2}\tfrac12x^2dx=\tfrac{7}{6}, \quad \int_{2}^{3}x^2\Bigl(-\tfrac12x+\tfrac32\Bigr)dx =\tfrac{11}{8}.
Logo
E[X^2]=\tfrac{1}{8}+\tfrac{7}{6}+\tfrac{11}{8} =\tfrac{64}{24} =\tfrac{8}{3}.
Então
\mathrm{Var}(X) =E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 =\tfrac{8}{3}-\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^2 =\tfrac{5}{12},
e o desvio padrão é
\sigma_X =\sqrt{\tfrac{5}{12}} \approx0{,}646.

Resposta

a) a=\tfrac12
b) f(x)\ge0 conforme mostrado em cada trecho
c) E[X]=1{,}5, \sigma_X\approx0{,}646

Exercícios relacionados