Suponha que um sistema contém certo tipo de componente cujo tempo, em anos, até a falha é dado por T. A variável aleatória T é bem modelada pela distribuição exponencial com tempo médio até a falha de cinco anos. Se cinco desses componentes são instalados em sistemas independentes, qual é a probabilidade de que pelo menos dois ainda estejam funcionando no final de oito anos? (Resposta: 0,2666 )

Passo 1

O enunciado diz que o tempo até a falha T de cada componente segue uma distribuição exponencial com tempo médio de cinco anos. Instalamos cinco componentes em sistemas independentes e queremos a probabilidade de que pelo menos dois ainda estejam funcionando após oito anos. Vamos usar que, para T\sim\mathrm{Exp}(\lambda) com média 1/\lambda=5, a probabilidade de sobrevivência até o tempo t é P(T>t)=e^{-\lambda t}. Em seguida, cada componente que sobreviveu até t=8 pode ser visto como um “sucesso” de probabilidade p, e o número total de sobreviventes em cinco componentes é binomial.

Passo 2

Como a média de T é cinco anos, temos
\frac{1}{\lambda}=5 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac15.
Logo, a probabilidade de um componente sobreviver até oito anos é
p = P(T>8) = e^{-\lambda\cdot8} = e^{-\frac{8}{5}}.

Passo 3

Chamando de X o número de componentes (de um total de 5) que ainda funcionam em t=8, temos
X\sim \mathrm{Bin}\bigl(n=5,\,p=e^{-8/5}\bigr).
Queremos
P(X\ge2).

Passo 4

É mais fácil usar o complemento:
P(X\ge2) = 1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr] = 1 - \Bigl[(1-p)^5 + 5\,p\,(1-p)^4\Bigr].

Passo 5

Calculando numericamente p=e^{-8/5}\approx0,2019:
(1-p)^5 \approx 0,7981^5 \approx 0,3238, \quad 5\,p\,(1-p)^4 \approx 5\cdot0,2019\cdot0,7981^4 \approx 0,4094,
P(X\ge2) \approx 1 - (0,3238 + 0,4094) = 1 - 0,7332 = 0,2668\approx0,2666.

Resposta

0,2666

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