Suponha que um sistema contém certo tipo de componente cujo tempo, em anos, até a falha é dado por
. A variável aleatória
é bem modelada pela distribuição exponencial com tempo médio até a falha de cinco anos. Se cinco desses componentes são instalados em sistemas independentes, qual é a probabilidade de que pelo menos dois ainda estejam funcionando no final de oito anos? (Resposta: 0,2666 )
Passo 1
O enunciado diz que o tempo até a falha
de cada componente segue uma distribuição exponencial com tempo médio de cinco anos. Instalamos cinco componentes em sistemas independentes e queremos a probabilidade de que pelo menos dois ainda estejam funcionando após oito anos. Vamos usar que, para
com média
, a probabilidade de sobrevivência até o tempo
é
. Em seguida, cada componente que sobreviveu até
pode ser visto como um “sucesso” de probabilidade
, e o número total de sobreviventes em cinco componentes é binomial.
Passo 2
Como a média de
é cinco anos, temos
Logo, a probabilidade de um componente sobreviver até oito anos é
Passo 3
Chamando de
o número de componentes (de um total de 5) que ainda funcionam em
, temos
Queremos
Passo 4
É mais fácil usar o complemento:
Passo 5
Calculando numericamente
: