O Departamento de Engenharia Eletromecânica da UBI promove anualmente um concurso onde se avaliam modelos de pontes contruídas com massa alimentar e cola térmica. Numa das categorias deste concurso, de Pontes de Esparguete, é posta à prova a capacidade de suporte de pesos das pequenas estruturas, as quais podem pesar no máximo 350 g .
Das 16 pontes a concurso, em 2004, 3 suportaram um peso superior a 30 kg . 30,8 % das pontes que suportaram no máximo 30 kg de peso apresentavam um peso inferior ou igual a 250 g e 93,75 % pesavam mais de 250 g ou suportavam um peso inferior ou igual a 30 kg .
Mostre que 6,25 % das pontes, neste concurso, pesava no máximo 250 g e suportava um peso superior a 30 kg .

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o enunciado pede e o que vai rolar de teoria.
– Temos 16 pontes no total.
– Definimos dois conjuntos:
A = pontes que suportam > 30 kg
B = pontes que pesam ≤ 250 g
– Informação 1: |A| = 3 (3 pontes suportam > 30 kg).
– Informação 2: Das pontes que suportam ≤ 30 kg (Aᶜ), 30,8 % pesam ≤ 250 g (ou seja, |Aᶜ ∩ B| = 30,8 % de |Aᶜ|).
– Informação 3: 93,75 % das 16 pontes “pesavam > 250 g ou suportavam ≤ 30 kg” – isso é o conjunto Bᶜ ∪ Aᶜ.
O que queremos: mostrar que 6,25 % das pontes estão em A ∩ B (ou seja, pesam ≤ 250 g e suportam > 30 kg).
Tecnicamente vamos usar noções de conjuntos (união, interseção, complemento) e percentuais.

Passo 2

Calcular quantas pontes estão em Aᶜ e em Aᶜ ∩ B.
– Total de pontes: 16.
– Em A (suportam > 30 kg): |A| = 3.
– Logo em Aᶜ (suportam ≤ 30 kg): |Aᶜ| = 16 – 3 = 13.
– Dessas 13, 30,8 % estão em B, ou seja:
|Aᶜ ∩ B| = 0{,}308 × 13 = 4 (arredondando, porque 0,308×13 ≃4,004, mas são ponteiros inteiros).

Passo 3

Entender o dado de 93,75 %.
– “93,75 % das pontes pesavam > 250 g ou suportavam ≤ 30 kg” significa:
|Bᶜ ∪ Aᶜ| = 93{,}75 % de 16 = 0{,}9375 × 16 = 15 pontes.
– Pela lei de De Morgan, Bᶜ ∪ Aᶜ é o complemento de (A ∩ B). Logo:
|(A ∩ B)ᶜ| = 15 ⇒ |A ∩ B| = 16 – 15 = 1 ponte.

Passo 4

Traduzindo para porcentagem do total:
– 1 ponte em A ∩ B, de um total de 16, dá
116 = 0,0625 = 6,25%
É exatamente a parcela que pesa ≤ 250 g e suporta > 30 kg.

Resposta

6,25 % das pontes pesavam, no máximo, 250 g e suportavam um peso superior a 30 kg.

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