Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 \mathrm{~m}^{2} e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra? Use a primeira ou a segunda derivada para provar que o extremo encontrado é um mínimo.
OBS: Usar derivadas na sua solução.
(Valor: 2,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede um retângulo de área 5000\,\mathrm{m}^2 batido junto a uma rodovia (sem cerca) e cercado nos três lados restantes. Queremos minimizar o comprimento da cerca. O conteúdo necessário é otimização de função de uma variável usando derivadas.

Passo 2

Defina x como o comprimento paralelo à rodovia (sem cerca) e y como a largura perpendicular. A área satisfaz
x\,y = 5000.
O comprimento da cerca L é a soma dos dois lados de comprimento y e do lado oposto de comprimento x, logo
L = x + 2y.

Passo 3

Da restrição de área, isolamos y:
y = \frac{5000}{x}.
Substituindo em L, obtemos a função de uma variável
L(x) = x + 2\cdot\frac{5000}{x} = x + \frac{10000}{x}.

Passo 4

Calculamos a derivada primeira e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
L'(x) = 1 - \frac{10000}{x^2}.
Fazendo L'(x)=0 resulta
1 = \frac{10000}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 10000 \quad\Longrightarrow\quad x = 100\quad(\text{escolhemos }x>0).

Passo 5

Usamos a segunda derivada para confirmar mínimo.
L''(x) = \frac{20000}{x^3}.
Como L''(100)=\tfrac{20000}{100^3}>0, o ponto x=100 é mínimo.

Passo 6

A largura correspondente é
y = \frac{5000}{100} = 50.
O comprimento mínimo da cerca é
L_{\min} = 100 + 2\cdot 50 = 200\;\mathrm{m}.

Resposta

O menor comprimento de cerca necessário é 200 metros.

Exercícios relacionados