Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de
e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra? Use a primeira ou a segunda derivada para provar que o extremo encontrado é um mínimo.
OBS: Usar derivadas na sua solução.
(Valor: 2,5 pontos)
(Valor: 2,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede um retângulo de área
batido junto a uma rodovia (sem cerca) e cercado nos três lados restantes. Queremos minimizar o comprimento da cerca. O conteúdo necessário é otimização de função de uma variável usando derivadas.
Passo 2
Defina
como o comprimento paralelo à rodovia (sem cerca) e
como a largura perpendicular. A área satisfaz
O comprimento da cerca
é a soma dos dois lados de comprimento
e do lado oposto de comprimento
, logo
Passo 3
Da restrição de área, isolamos
:
Substituindo em
, obtemos a função de uma variável
Passo 4
Calculamos a derivada primeira e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Fazendo
resulta
Passo 5
Usamos a segunda derivada para confirmar mínimo.
Como
, o ponto
é mínimo.
Passo 6
A largura correspondente é
O comprimento mínimo da cerca é
Resposta
O menor comprimento de cerca necessário é
metros.