Use o Teorema de Green para calcular a integral \oint_{\mathbf{C}} x^{2} y d x+\left(y+x y^{2}\right) d y, em que \mathbf{C} é a fronteira da região compreendida por y=x^{2} e y=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \oint_{\mathbf{C}} x^{2}y\,dx + \bigl(y + xy^{2}\bigr)\,dy, onde \mathbf{C} é a fronteira da região compreendida entre y=x^{2} e y=\sqrt{x}. O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região D.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que
\oint_{\mathbf{C}} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde aqui P(x,y)=x^{2}y e Q(x,y)=y + xy^{2}.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais: \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y + xy^{2}) = y^{2}
e \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) = x^{2}.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^{2} - x^{2}.

Passo 4

A região D é limitada pelas curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x}. Elas se intersectam em
x^{2} = \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.
Portanto
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;x^{2}\le y\le \sqrt{x}\bigr\}.

Passo 5

O Teorema de Green leva a
\iint_{D}(y^{2}-x^{2})\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}(y^{2}-x^{2})\,dy\,dx.
Primeiro calculemos a integral interna:
\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}(y^{2}-x^{2})\,dy = \Bigl[\tfrac{1}{3}y^{3} - x^{2}y\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} = \bigl(\tfrac{1}{3}x^{3/2} - x^{5/2}\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{3}x^{6} - x^{4}\bigr)
= \tfrac{1}{3}x^{3/2} - x^{5/2} - \tfrac{1}{3}x^{6} + x^{4}.

Passo 6

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{3/2} - x^{5/2} - \tfrac{1}{3}x^{6} + x^{4}\Bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{2}{15}x^{5/2} - \tfrac{2}{7}x^{7/2} - \tfrac{1}{21}x^{7} + \tfrac{1}{5}x^{5}\Bigr]_{0}^{1}
= \tfrac{2}{15} - \tfrac{2}{7} - \tfrac{1}{21} + \tfrac{1}{5} = 0.

Resposta

A integral vale 0.

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