Use o Teorema de Green para calcular a integral
, em que
é a fronteira da região compreendida por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é a fronteira da região compreendida entre
e
. O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região
.
Passo 2
O Teorema de Green afirma que
onde aqui
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
e
Logo o integrando é
e
Logo o integrando é
Passo 4
A região
é limitada pelas curvas
e
. Elas se intersectam em
Portanto
Passo 5
O Teorema de Green leva a
Primeiro calculemos a integral interna:
Passo 6
Agora integramos em
:
Resposta
A integral vale
.