Usando a regra da substituição, calcule a integral indefinida abaixo:
\int \operatorname{sen}(3 x) e^{[\cos (3 x)]} d x

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(3x)\,e^{\cos(3x)}\,dx.
Para isso, vamos usar a substituição u = \cos(3x), pois sua derivada envolve exatamente \operatorname{sen}(3x).

Passo 2

Derivando u em relação a x, obtemos
du = \frac{d}{dx}\bigl[\cos(3x)\bigr]\,dx = -3\,\operatorname{sen}(3x)\,dx.
Isolando \operatorname{sen}(3x)\,dx, fica
\operatorname{sen}(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \operatorname{sen}(3x)\,e^{\cos(3x)}\,dx = \int e^{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{3}du\Bigr) = -\tfrac{1}{3}\int e^{u}\,du.

Passo 4

Sabendo que \int e^{u}\,du = e^{u}, a expressão vira
-\tfrac{1}{3}\int e^{u}\,du = -\tfrac{1}{3}e^{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u = \cos(3x), concluímos
-\tfrac{1}{3}e^{u} + C = -\tfrac{1}{3}e^{\cos(3x)} + C.

Resposta

-\frac{1}{3}e^{\cos(3x)} + C

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