Resolva o sistema: \left\{\begin{array}{l}\dot{x}=a_{11} x \\\ \dot{y}=a_{22} y\end{array}\right. com \left(a_{12}=a_{21}=0\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear autônomo de duas equações desacopladas
\dot{x} = a_{11}\,x,\quad \dot{y} = a_{22}\,y,
com a_{12}=a_{21}=0. O conteúdo aqui é resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem com coeficientes constantes, que se resolvem por separação de variáveis.

Passo 2

Resolver \dot{x}=a_{11}x por separação de variáveis. Escrevemos
\frac{dx}{dt}=a_{11}x \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}\,dx = a_{11}\,dt.
Integrando em ambos os lados, obtemos
\int \frac{1}{x}\,dx = \int a_{11}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|x\bigr| = a_{11}t + C_1.
Exponenciando,
x(t) = C'_1 e^{a_{11}t},
onde C'_1 = e^{C_1} é constante de integração.

Passo 3

Analogamente, para \dot{y}=a_{22}y temos
\frac{dy}{dt}=a_{22}y \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = a_{22}\,dt
e, integrando,
\ln\bigl|y\bigr| = a_{22}t + C_2 \quad\Longrightarrow\quad y(t) = C'_2 e^{a_{22}t},
onde C'_2 = e^{C_2} é outra constante de integração.

Passo 4

Reunindo os resultados, a solução geral do sistema é
\bigl(x(t),\,y(t)\bigr) = \bigl(C'_1 e^{a_{11}t},\,C'_2 e^{a_{22}t}\bigr).
Se forem dadas condições iniciais x(0)=x_0 e y(0)=y_0, então C'_1=x_0 e C'_2=y_0.

Resposta

x(t) = C_1 e^{a_{11}t},\qquad y(t) = C_2 e^{a_{22}t},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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