Departamento de Matemática
Prova Substitutiva de Cálculo 1
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Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(5) (valor:2,5 pts) Calcule o valor da seguinte integral:
integral cos ^5(x)raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos^5(x)raizx , dx. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas e radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre técnicas de integração e saber quando uma função pode ou não ser integrada de forma expressa.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral é uma combinação de cos^5(x) e 1raizx. Geralmente, para integrar produtos de funções, consideramos métodos como substituição ou integração por partes. Vamos tentar uma substituição simples para ver se conseguimos simplificar.

Passo 3

Vamos tentar a substituição t = raizx , então x = t^2 e dx = 2t , dt . Substituindo na integral:
integral cos^5(t^2)t cdot 2t , dt = 2 integral cos^5(t^2) , dt
Agora, a integral ficou 2 integral cos^5(t^2) , dt , que ainda não é uma expressão fácil de integrar.

Passo 4

Tentamos novamente, mas percebemos que não há uma técnica de integração padrão que nos permita resolver integral cos^5(t^2) , dt de forma direta usando funções elementares (como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos e cossenos).

Passo 5

Dado que a integral não se expressa facilmente com as técnicas conhecidas de Cálculo Integral e não é possível encontrar uma antiderivada em termos de funções elementares, concluímos que a integral integral cos^5(x)raizx , dx não pode ser expressa de forma simples usando as funções que estudamos até agora.

Resposta

A integral integral cos^5(x)raizx , dx não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas.

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