Departamento de Matemática
Teroeira Provs de Cálculo I
Nome do Alunot Maria Ferenanda Maerel Reicardo
Faga as questōes abaixo de maneira organizada e legivel.
(1) (valor:2,5 pts) Suponha que f: R R seja uma função contínua tal que
x sin (pi x)=integral0^x^2 f(t) d t, forall x in R
Calcule f(4) :

Passo 1

O enunciado diz que há uma função contínua f satisfazendo
xsin(pi x)=integral0^x^2f(t),dt, forall xinR
O conteúdo necessário é o Teorema Fundamental do Cálculo (para derivar a integral) e a regra da cadeia, além da regra do produto para derivadas.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usando a regra do produto e ddxsin(pi x)=picos(pi x), obtemos
ddxl[xsin(pi x)r] =sin(pi x)+pi xcos(pi x)
No lado direito, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
ddxintegral0^x^2f(t),dt =f(x^2)cdotddx(x^2) =2x,f(x^2)
Logo,
sin(pi x)+pi xcos(pi x)=2x,f(x^2)

Passo 3

Isolando f(x^2), vem
f(x^2) =sin(pi x)+pi xcos(pi x)2x

Passo 4

Para achar f(4) fazemos x^2=4, ou seja x=pm2. Pela continuidade de f, o valor em 4 independe do sinal. Escolhendo x=2,
f(4)=sin(2pi)+picdot2cos(2pi)2cdot2 =0+2picdot14 =pi2

Resposta

pi2

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