Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
integral sen 3(2-3 x) sen 7(2-3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sinl(3(2-3x)r),sinl(7(2-3x)r),dx
O conteúdo principal envolve a identidade de produto para senos
sin A,sin B = tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
e uma substituição para simplificar o argumento linear.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 - 3x, du = -3,dxLongrightarrow dx = -tfrac13,du
Então
integral sin(3u),sin(7u),dx = -tfrac13integral sin(3u),sin(7u),du
Aplicando a identidade de produto:
sin(3u),sin(7u) = tfrac12l[cos(3u-7u)-cos(3u+7u)r] = tfrac12l[cos(-4u)-cos(10u)r] = tfrac12l[cos(4u)-cos(10u)r]
Logo a integral vira
-tfrac13integral sin(3u),sin(7u),du = -tfrac13integral tfrac12l[cos(4u)-cos(10u)r]du = -tfrac16l(integralcos(4u),du-integralcos(10u),dur)

Passo 3

Integramos termo a termo:
integralcos(4u),du = tfrac14sin(4u), integralcos(10u),du = tfrac110sin(10u)
Portanto
-tfrac16l(tfrac14sin(4u)-tfrac110sin(10u)r) = -tfrac124sin(4u)+tfrac160sin(10u)+C

Passo 4

Voltando à variável x com u=2-3x, obtemos
-tfrac124sinl(4(2-3x)r) +tfrac160sinl(10(2-3x)r) + C

Resposta

integral sinl(3(2-3x)r),sinl(7(2-3x)r),dx = -tfrac124sinl(4(2-3x)r) +tfrac160sinl(10(2-3x)r) + C

Exercícios relacionados