Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
integral sen^3 5 xcos ^6 5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de sin^3(5x)cos^6(5x) em relação a x. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente substituição trigonométrica, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Podemos reescrever a fração usando potências de seno e cosseno:
sin^3(5x)cos^6(5x) = sin^3(5x) cdot cos^-6(5x)

Passo 3

Sabemos que sin^3(5x) pode ser escrita como sin^2(5x) cdot sin(5x). E usando a identidade trigonométrica sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ), temos:
sin^3(5x) = (1 - cos^2(5x)) cdot sin(5x)

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral sin^3(5x)cos^6(5x) dx = integral (1 - cos^2(5x)) cdot sin(5x)cos^6(5x) dx
Isso simplifica para:
integral 1 - cos^2(5x)cos^6(5x) cdot sin(5x) dx = integral ( 1cos^6(5x) - cos^2(5x)cos^6(5x) ) sin(5x) dx
Que se reduz a:
integral ( cos^-6(5x) - cos^-4(5x) ) sin(5x) dx

Passo 5

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar u = cos(5x). Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -5 sin(5x) implies sin(5x) dx = -du5

Passo 6

Substituindo na integral:
integral ( u^-6 - u^-4 ) cdot ( -du5 ) = -15 integral ( u^-6 - u^-4 ) du

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
- 15 ( integral u^-6 du - integral u^-4 du )
As integrais são:
integral u^-6 du = u^-5-5 + C e integral u^-4 du = u^-3-3 + C

Passo 8

Substituindo de volta:
- 15 ( u^-5-5 - u^-3-3 ) + C = 125 u^-5 - 115 u^-3 + C

Passo 9

Lembrando que u = cos(5x), substituímos de volta:
125 cos^-5(5x) - 115 cos^-3(5x) + C

Resposta

A integral é igual a 125 cdot sec^5(5x) - 115 cdot sec^3(5x) + C, onde C é a constante de integração.

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