Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente substituição trigonométrica, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Podemos reescrever a fração usando potências de seno e cosseno:
Passo 3
Sabemos que
pode ser escrita como
. E usando a identidade trigonométrica
, temos:
Passo 4
Substituindo de volta na integral:
Isso simplifica para:
Que se reduz a:
Passo 5
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
As integrais são:
Passo 8
Substituindo de volta:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.