Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
integral0^pi16 sen^2 4 x cos ^4 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma potência de seno e cosseno:
integral0^pi16 sen^2(4x),cos^4(4x),dx
O conteúdo envolvido é o uso de substituição trigonométrica e identidades de redução de potência.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 4x, dt = 4,dx Longrightarrow dx = dt4,
e os limites x=0 e x=tfracpi16 viram t=0 e t=tfracpi4. Assim
integral0^pi16 sen^2(4x)cos^4(4x),dx = 14,integral0^pi4 sen^2t,cos^4t,dt

Passo 3

Usamos as identidades
sen^2t = 1 - cos(2t)2, cos^4t = l(cos^2tr)^2 = 14l(1 + 2cos(2t) + cos^2(2t)r) = 38 + 12cos(2t) + 18cos(4t)
Multiplicando,
sen^2t,cos^4t = 38sen^2t + 12,sen^2tcos(2t) + 18,sen^2tcos(4t)
Portanto precisamos calcular
integral0^pi4l[ 38sen^2t + 12,sen^2tcos(2t) + 18,sen^2tcos(4t) r]dt

Passo 4

Cada parcela dá, após integração e avaliação em 0 e tfracpi4, o seguinte total:
integral0^pi4sen^2t,cos^4t,dt = 3pi+4192

Passo 5

Voltando ao fator tfrac14 de dx=tfracdt4, a integral original vale
14,3pi+4192 = 3pi+4768

Resposta

integral0^pi16 sen^2(4x)cos^4(4x),dx = 3pi+4768

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