Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
integral sen^2(2-3 x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de sin^2(2 - 3x) em relação a x. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma sin^2(u) em algo mais fácil de integrar:
sin^2(u) = 1 - cos(2u)2
Aqui, u é uma função de x, que no nosso caso é u = 2 - 3x. Essa identidade vai simplificar a integral.

Passo 3

Vamos aplicar a identidade na nossa integral:
integral sin^2(2 - 3x) , dx = integral 1 - cos(2(2 - 3x))2 , dx
Isso simplifica para:
12 integral (1 - cos(4 - 6x)) , dx

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral 1 , dx - integral cos(4 - 6x) , dx )
Integrar 1 em relação a x é simples, e para a segunda parte, precisamos usar uma substituição.

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro:
integral 1 , dx = x + C
Agora, para a segunda integral integral cos(4 - 6x) , dx, vamos usar a substituição:
Seja w = 4 - 6x, então dw/dx = -6, ou seja, dx = -dw6.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral cos(w) cdot (-dw6) = -16 integral cos(w) , dw
A integral de cos(w) em relação a w é sin(w), então:
-16 sin(w) + C = -16 sin(4 - 6x) + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
12 ( x - (-16 sin(4 - 6x)) ) + C
Simplificando:
x2 + 112 sin(4 - 6x) + C

Resposta

A integral de sin^2(2 - 3x) , dx é:
x2 + 112 sin(4 - 6x) + C

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