Departamento de Matemática
Teroeira Provs de Cálculo I
Nome do Alunot Maria Ferenanda Maerel Reicardo
Faga as questōes abaixo de maneira organizada e legivel.
(2) (valor: 2,5 pts ) Seja R a regiăo limitada pelas curvas
x+y=0, x=y^2+3 y
Faga o que se pede abaixo:
(b) Calcule a área da reglaio R.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
x + y = 0
e
x = y^2 + 3y
O conteúdo é cálculo de área por integração em relação a y. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção em y.
  2. Identificar, para cada y, qual curva dá o limite direito em x e qual dá o esquerdo.
  3. Montar e calcular a integral integral (xdireita-xesquerda),dy.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos as expressões de x:
-y = y^2 + 3y Longrightarrow y^2 + 4y = 0 Longrightarrow y,(y+4)=0
Assim, as soluções são y=0 e y=-4. Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Definimos
x1(y) = -y e x2(y) = y^2 + 3y
Para decidir qual é maior em [-4,0], consideramos
x1(y) - x2(y) = -y - (y^2+3y) = -y^2 -4y = -y,(y+4)
Para yin(-4,0) temos y<0 e y+4>0, logo y(y+4)<0 e assim -y(y+4)>0. Portanto x1(y)>x2(y) em todo o intervalo. Concluímos:
xdireita = -y, xesquerda = y^2 + 3y

Passo 4

A área de R é
Área = integraly=-4^0 l[xdireita - xesquerdar],dy = integral-4^0 l(-y - (y^2+3y)r),dy = integral-4^0 l(-y^2 -4yr),dy Á

Passo 5

Calculando a integral:
integral-4^0 l(-y^2 -4yr),dy = [-13y^3 - 2y^2]-4^0 = l(0r) - l(-tfrac13(-4)^3 - 2(-4)^2r) = -l(tfrac643 - 32r) = tfrac323

Resposta

A área da região R é 323.

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