Departamento de Matemática
Teroeira Provs de Cálculo I
Nome do Alunot Maria Ferenanda Maerel Reicardo
Faga as questōes abaixo de maneira organizada e legivel.
(3) (valor-2.5 pts) Calcule as integrais abaixo:
(a) integral1^1 / 2 cos ^-1(x) d x
Dica: Olhe para dd x[x cos ^-1(x)].

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral1^1/2cos^-1(x),dx
que é uma integral definida de uma função inversa. Vamos usar integração por partes, lembrando que
ddxl[xcos^-1(x)r] =cos^-1(x)-xraiz1-x^2

Passo 2

Aplicamos integração por partes em
integral cos^-1(x),dx
escolhendo
u=cos^-1(x), dv=dx
Então
du=-1raiz1-x^2,dx, v=x,
e pela fórmula
integral u,dv=uv-integral v,du obtemos
integral cos^-1(x),dx = xcos^-1(x) +integral xraiz1-x^2,dx

Passo 3

Para calcular
integral xraiz1-x^2,dx
fazemos a substituição simples t=1-x^2, dt=-2x,dx, mas reconhecemos diretamente que
ddxl(raiz1-x^2r) =-xraiz1-x^2,
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integral xraiz1-x^2,dx =-raiz1-x^2+C

Passo 4

Juntando os resultados, uma antiderivada de cos^-1(x) é
F(x) = xcos^-1(x) -raiz1-x^2+C

Passo 5

Agora avaliamos nos limites 1 a 1/2:
Fl(tfrac12r) = tfrac12cdotpi3 -raiz1-tfrac14 = pi6-raiz32,
F(1)=1cdot0-raiz0=0
Portanto
integral1^1/2cos^-1(x),dx =Fl(tfrac12r)-F(1) =pi6-raiz32

Resposta

boxedpi6-raiz32

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