Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
integral0^7 cos 3 pi x7 cos 5 pi x7 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^7 cos3pi x7,cos5pi x7,dx
O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas para transformar o produto de cossenos em soma de cossenos, o que facilita a integração.

Passo 2

Usamos a identidade do produto para soma:
cos Acos B = 12l(cos(A - B) + cos(A + B)r)

Passo 3

No nosso caso,
A = 3pi x7, B = 5pi x7,
então
cos3pi x7cos5pi x7 = 12!l(cos!l(tfrac3pi x7-tfrac5pi x7r) +cos!l(tfrac3pi x7+tfrac5pi x7r)r) = 12l(costfrac2pi x7+costfrac8pi x7r),
onde usamos cos(-theta)=costheta.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
I = 12integral0^7!l(costfrac2pi x7+costfrac8pi x7r),dx = 12l(integral0^7costfrac2pi x7,dx + integral0^7costfrac8pi x7,dxr)

Passo 5

A primitiva de cosl(tfrackpi x7r) é
integral coskpi x7,dx = 7kpi,sinkpi x7
Logo, para k=2 e k=8 temos
integral0^7coskpi x7,dx = [7kpisinkpi x7]0^7 = 7kpil(sin kpi - sin0r) = 0

Passo 6

Como ambas as integrais parciais são zero, concluímos que
I = 12(0 + 0) = 0

Resposta

integral0^7 cos3pi x7cos5pi x7,dx = 0

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