Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 sen(4 pi x) cos (5 pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1sin(4pi x),cos(5pi x),dx
O conteúdo envolvido é integração de produto de função seno e cosseno. Vamos usar a identidade de soma de ângulos para converter o produto em soma de senos.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin Acos B = tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
com A=4pi x e B=5pi x. Assim
sin(4pi x)cos(5pi x) =tfrac12l[sin(9pi x)+sin(-pi x)r] =tfrac12l[sin(9pi x)-sin(pi x)r]
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integral0^1sin(4pi x)cos(5pi x),dx =tfrac12integral0^1l[sin(9pi x)-sin(pi x)r]dx

Passo 3

Integramos termo a termo sabendo que
integralsin(kx),dx=-tfrac1kcos(kx).
Então
integral0^1sin(9pi x),dx =-19pil[cos(9pi x)r]0^1, integral0^1sin(pi x),dx =-1pil[cos(pi x)r]0^1
Portanto
tfrac12integral0^1l[sin(9pi x)-sin(pi x)r]dx =tfrac12l[-cos(9pi x)9pi+cos(pi x)pir]0^1

Passo 4

Avaliamo em x=1 e em x=0:
cos(9pi)=cos(pi)=-1 e cos(0)=1.
Assim o valor é
tfrac12l[l(tfrac19pi-tfrac1pir) -l(-tfrac19pi+tfrac1pir)r] =tfrac12l(tfrac29pi-tfrac2pir) =tfrac19pi-tfrac1pi

Passo 5

Fatorando tfrac1pi obtemos
19pi-1pi =1-99pi =-89pi

Resposta

-89pi

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